Резонанс токов в цепи переменного тока: Резонанс напряжений и резонанс токов

Резонанс напряжений и резонанс токов

В физике резонансом называется явление, при котором в колебательном контуре частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний. В электричестве аналогом колебательного контура служит цепь, состоящая из сопротивления, ёмкости и индуктивности. В зависимости от того как они соединены различают резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC-цепи.

Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=wр, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений xL=xC. Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке UL и на конденсаторе UC будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.

При резонансе напряжения UC и UL могут быть намного больше, чем напряжение источника, что опасно для цепи.

С увеличением частоты сопротивление катушки увеличивается, а конденсатора уменьшается. В момент времени, когда частота источника будет равна резонансной, они будут равны, а полное сопротивление цепи Z будет наименьшим. Следовательно, ток в цепи будет максимальным.

Из условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений найдем резонансную частоту

Исходя из записанного уравнения, можно сделать вывод, что резонанса в колебательном контуре можно добиться изменением частоты тока источника (частота вынужденных колебаний) или изменением параметров катушки L и конденсатора C.

Следует знать, что в последовательной RLC-цепи, обмен энергией между катушкой и конденсатором осуществляется через источник питания.

Резонанс токов

Резонанс токов возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой резистором и конденсатором.

Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=wр, следовательно проводимости BL=BC. То есть при резонансе токов, ёмкостная и индуктивная проводимости равны.

Для наглядности графика, на время отвлечёмся от проводимости и перейдём к сопротивлению. При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.

Выразим резонансную частоту

Как видно из выражения, резонансная частота определяется, как и в случае с резонансом напряжений.

Явление резонанса может носить как положительный, так и отрицательный характер. Например, любой радиоприемник имеет в своей основе колебательный контур, который с помощью изменения индуктивности или емкости настраивают на нужную радиоволну. С другой стороны, явление резонанса может привести к скачкам напряжения или тока в цепи, что в свою очередь приводит к аварии.

  • Просмотров: 85079
  • §56. Резонанс напряжений и резонанс токов

    Явление резонанса.

    Электрическая цепь, содержащая индуктивность и емкость, может служить колебательным контуром, где возникает процесс колебаний электрической энергии, переходящей из индуктивности в емкость и обратно. В идеальном колебательном контуре эти колебания будут незатухающими.

    При подсоединении колебательного контура к источнику переменного тока угловая частота источника ω может оказаться равной угловой частоте ω0, с которой происходят колебания электрической энергии в контуре. В этом случае имеет место явление резонанса, т. е. совпадения частоты свободных колебаний ω0, возникающих в какой-либо физической системе, с частотой вынужденных колебаний ω, сообщаемых этой системе внешними силами.

    Резонанс в электрической цепи можно получить тремя способами: изменяя угловую частоту ω источника переменного тока, индуктивность L или емкость С. Различают резонанс при последовательном соединении L и С — резонанс напряжений и при параллельном их соединении — резонанс токов. Угловая частота ω0, при которой наступает резонанс, называется резонансной, или собственной частотой колебаний резонансного контура.

    Резонанс напряжений.

    При резонансе напряжений (рис. 196, а) индуктивное сопротивление XL равно емкостному Хси полное сопротивление Z становится равным активному сопротивлению R:

    Z = √( R2 + [ω0L — 1/(ω0C)]2 ) = R

    В этом случае напряжения на индуктивности UL и емкости Uc равны и находятся в противофазе (рис. 196,б), поэтому при сложении они компенсируют друг друга. Если активное сопротивление цепи R невелико, ток в цепи резко возрастает, так как реактивное сопротивление цепи X = XL—Xс становится равным нулю. При этом ток I совпадает по фазе с напряжением U и I=U/R. Резкое возрастание тока в цепи при резонансе напряжений вызывает такое же возрастание напряжений UL и Uc, причем их значения могут во много раз превышать напряжение U источника, питающего цепь.

    Угловая частота ω0, при которой имеют место условия резонанса, определяется из равенства ωoL = 1/(ω0С).

    Рис. 196. Схема (а) и векторная диаграмма (б) электрической цепи, содержащей R, L и С, при резонансе напряжений

    Отсюда имеем:

    ωo = 1/√(LC) (74)

    Если плавно изменять угловую частоту ω источника, то полное сопротивление Z сначала начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения при резонансе напряжений (при ωo), а затем увеличивается (рис. 197, а). В соответствии с этим ток I в цепи сначала возрастает, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается.

    Рис. 197. Зависимость тока I и полного сопротивления Z от ω для последовательной (а) и параллельной (б) цепей переменного тока

    Резонанс токов.

    Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении индуктивности и емкости (рис. 198, а). В идеальном случае, когда в параллельных ветвях отсутствует активное сопротивление (R1=R2 = 0), условием резонанса токов является равенство реактивных сопротивлений ветвей, содержащих индуктивность и емкость, т. е. ωoL = 1/(ωoC).

    Рис. 198. Электрическая схема (а) и векторные диаграммы (б и в) при резонансе токов

    Так как в рассматриваемом случае активная проводимость G = 0, ток в неразветвленной части цепи при резонансе I=U √(G2+(BL-BC)2)= 0. Значения токов в ветвях I1 и I2 будут равны (рис. 198,б), но токи будут сдвинуты по фазе на 180° (ток IL в индуктивности отстает по фазе от напряжения U на 90°, а ток в емкости I с опережает напряжение U на 90°).

    Следовательно, такой резонансный контур представляет собой для тока I бесконечно большое сопротивление и электрическая энергия в контур от источника не поступает. В то же время внутри контура протекают токи IL и Iс, т. е. имеет место процесс непрерывного обмена энергией внутри контура. Эта энергия переходит из индуктивности в емкость и обратно.

    Как следует из формулы (74), изменяя значения емкости С или индуктивности L, можно изменять частоту колебаний ω0 электрической энергии и тока в контуре, т. е. осуществлять настройку контура на требуемую частоту.

    Если бы в ветвях, в которых включены индуктивность и емкость, не было активного сопротивления, этот процесс колебания энергии продолжался бы бесконечно долго, т. е. в контуре возникли бы незатухающие колебания энергии и токов IL и Iс.

    Однако реальные катушки индуктивности и конденсаторы всегда поглощают электрическую энергию (из-за наличия в катушках активного сопротивления проводов и возникновения в конденсаторах токов смещения, нагревающих диэлектрик), поэтому в реальный контур при резонансе токов поступает от источника некоторая электрическая энергия и по неразветвленной части цепи протекает некоторый ток I.

    Условием резонанса в реальном резонансном контуре, содержащем активные сопротивления R1 и R2, будет равенство реактивных проводимостей BL = BC ветвей, в которые включены индуктивность и емкость.

    Из рис. 198, в следует, что ток I в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением U, так как реактивные токи 1L и Iс равны, но противоположны по фазе, вследствие чего их векторная сумма равна нулю.

    Если в рассматриваемой параллельной цепи изменять частоту ωо источника переменного тока, то полное сопротивление цепи начинает увеличиваться, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается (см. рис. 197,б). В соответствии с этим ток I начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения Imin = Ia при резонансе, а затем увеличивается.

    В реальных колебательных контурах, содержащих активное сопротивление, каждое колебание тока сопровождается потерями энергии. В результате сообщенная контуру энергия довольно быстро расходуется и колебания тока постепенно затухают. Для получения незатухающих колебаний необходимо все время пополнять потери энергии в активном сопротивлении, т. е. такой контур должен быть подключен к источнику переменного тока соответствующей частоты ω0.

    Явления резонанса напряжения и тока и колебательный контур получили весьма широкое применение в радиотехнике и высокочастотных установках. При помощи колебательных контуров мы получаем токи высокой частоты в различных радиоустройствах и высокочастотных генераторах.

    Колебательный контур — важнейший элемент любого радиоприемника. Он обеспечивает его избирательность, т. е. способность выделять из радиосигналов с различной длиной волны (т. е. с различной частотой), посланных различными радиостанциями, сигналы определенной радиостанции.

    Резонанс токов: применение, принцип резонса тока, расчет контура

    Знание физики и теории этой науки напрямую связано с ведением домашнего хозяйства, ремонтом, строительство и машиностроением. Предлагаем рассмотреть, что такое резонанс токов и напряжений в последовательном контуре RLC, какое основное условие его образования, а также расчет.

    Что такое резонанс?

    Определение явления по ТОЭ: электрический резонанс происходит в электрической цепи при определенной резонансной частоте, когда некоторые части сопротивлений или проводимостей элементов схемы компенсируют друг друга. В некоторых схемах это происходит, когда импеданс между входом и выходом схемы почти равен нулю, и функция передачи сигнала близка к единице. При этом очень важна добротность данного контура.

    Соединение двух ветвей при резонансе

    Признаки резонанса:

    1. Составляющие реактивных ветвей тока равны между собой IPC = IPL, противофаза образовывается только при равенстве чистой активной энергии на входе;
    2. Ток в отдельных ветках, превышает весь ток определенной цепи, при этом ветви совпадают по фазе.

    Иными словами, резонанс в цепи переменного тока подразумевает специальную частоту, и определяется значениями сопротивления, емкости и индуктивности. Существует два типа резонанса токов:

    1. Последовательный;
    2. Параллельный.

    Для последовательного резонанса условие является простым и характеризуется минимальным сопротивлением и нулевой фазе, он используется в реактивных схемах, также его применяет разветвленная цепь. Параллельный резонанс или понятие RLC-контура происходит, когда индуктивные и емкостные данные равны по величине, но компенсируют друг друга, так как они находятся под углом 180 градусов друг от друга. Это соединение должно быть постоянно равным указанной величине. Он получил более широкое практическое применение. Резкий минимум импеданса, который ему свойствен, является полезным для многих электрических бытовых приборов. Резкость минимума зависит от величины сопротивления.

    Схема RLC (или контур) является электрической схемой, которая состоит из резистора, катушки индуктивности, и конденсатора, соединенных последовательно или параллельно. Параллельный колебательный контур RLC получил свое название из-за аббревиатуры физических величин, представляющих собой соответственно сопротивление, индуктивность и емкость. Схема образует гармонический осциллятор для тока. Любое колебание индуцированного в цепи тока, затухает с течением времени, если движение направленных частиц, прекращается источником. Этот эффект резистора называется затуханием. Наличие сопротивления также уменьшает пиковую резонансную частоту. Некоторые сопротивление являются неизбежными в реальных схемах, даже если резистор не включен в схему.

    Применение

    Практически вся силовая электротехника использует именно такой колебательный контур, скажем, силовой трансформатор. Также схема необходима для настройки работы телевизора, емкостного генератора, сварочного аппарата, радиоприемника, её применяет технология «согласование» антенн телевещания, где нужно выбрать узкий диапазон частот некоторых используемых волн. Схема RLC может быть использована в качестве полосового, режекторного фильтра, для датчиков для распределения нижних или верхних частот.

    Резонанс даже использует эстетическая медицина (микротоковая терапия), и биорезонансная диагностика.

    Принцип резонанса токов

    Мы можем сделать резонансную или колебательную схему в собственной частоте, скажем, для питания конденсатора, как демонстрирует следующая диаграмма:

    Схема для питания конденсатора

    Переключатель будет отвечать за направление колебаний.

    Схема: переключатель резонансной схемы

    Конденсатор сохраняет весь ток в тот момент, когда время = 0. Колебания в цепи измеряются при помощи амперметров.

    Схема: ток в резонансной схеме равен нулю

    Направленные частицы перемещаются в правую сторону. Катушка индуктивности принимает ток из конденсатора.

    Когда полярность схемы приобретает первоначальный вид, ток снова возвращается в теплообменный аппарат.

    Теперь направленная энергия снова переходит в конденсатор, и круг повторяется опять.

    В реальных схемах смешанной цепи всегда есть некоторое сопротивление, которое заставляет амплитуду направленных частиц расти меньше с каждым кругом. После нескольких смен полярности пластин, ток снижается до 0. Данный процесс называется синусоидальным затухающим волновым сигналом. Как быстро происходит этот процесс, зависит от сопротивления в цепи. Но при этом сопротивление не изменяет частоту синусоидальной волны. Если сопротивление достаточно высокой, ток не будет колебаться вообще.

    Обозначение переменного тока означает, что выходя из блока питания, энергия колеблется с определенной частотой. Увеличение сопротивления способствует к снижению максимального размера текущей амплитуды, но это не приводит к изменению частоты резонанса (резонансной). Зато может образоваться вихретоковый процесс. После его возникновения в сетях возможны перебои.

    Расчет резонансного контура

    Нужно отметить, что это явление требует весьма тщательного расчета, особенно, если используется параллельное соединение. Для того чтобы в технике не возникали помехи, нужно использовать различные формулы. Они же Вам пригодятся для решения любой задачи по физике из соответствующего раздела.

    Очень важно знать, значение мощности в цепи. Средняя мощность, рассеиваемая в резонансном контуре, может быть выражена в терминах среднеквадратичного напряжения и тока следующим образом:

    R ср= I2конт * R = (V2конт / Z2) * R.

    При этом, помните, что коэффициент мощности при резонансе равен cos φ = 1

    Сама же формула резонанса имеет следующий вид:

    ω0 = 1 / √L*C

    Нулевой импеданс в резонансе определяется при помощи такой формулы:

    Fрез = 1 / 2π √L*C

    Резонансная частота колебаний может быть аппроксимирована следующим образом:

    F = 1/2 р (LC) 0. 5

    Где: F = частота

    L = индуктивность

    C = емкость

    Как правило, схема не будет колебаться, если сопротивление (R) не является достаточно низким, чтобы удовлетворять следующим требованиям:

    R = 2 (L / C) 0.5

    Для получения точных данных, нужно стараться не округлять полученные значения вследствие расчетов. Многие физики рекомендуют использовать метод, под названием векторная диаграмма активных токов. При правильном расчете и настройке приборов, у Вас получится хорошая экономия переменного тока.

    Резонанс токов и его последствия для цепей переменного тока

    Помимо резонанса напряжения, который может возникнуть в цепи переменного напряжения при последовательном подключении R, L, C элементов, в этих же цепях может возникать и резонанс токов, но уже при параллельном подключении R, L, C элементов. Рассмотрим резонанс токов.

    Принципиальная схема и векторная диаграмма при возникновении резонанса тока показана ниже:

    Условия для резонанса тока такие же, как для резонанса напряжения, а именно φ = 0, поскольку соединение параллельное, то Y = g – jb = ye, где:

    Из условия φ = 0 вытекает, что b = bL – bC = 0 или же (1/ωL) – ωC = 0; ω2LC = 1. Отсюда можно сделать вывод, достижение резонанса тока можно реализовать тремя способами, а именно:

    • Подобрать необходимое значение индуктивности;
    • Подобрать необходимое значение емкости;
    • Подобрать необходимое значение частоты питающей сети;

    Исходя из этого, будут справедливы соотношения:

    Частота ω0 – резонансная частота.

    При возникновении резонанса тока в цепи ее реактивная составляющая становится равной нулю. Из – за этого полная проводимость цепи снижается до минимального значения. Поэтому при постоянном напряжении на зажимах данной схемы ток общей ветви i становится минимален, в отличии от резонанса напряжения, когда ток максимален. При этом суммарный ток данной цепи будет равен векторной сумме всех трех токов, два из которых (а именно IL и IC) находятся в противофазе. Именно из – за того, что IL и IC находятся в противофазе в L-C контуре начинает протекать ток, который при резонансе может значительно превышать суммарный i. Условие, при котором ток в реактивных элементах будет больше сетевого, выглядит так:

    Величина , для удобства расчета обозначена γ и имеет размерность проводимости. Данная величина называется волновой проводимостью контура.

    Кратность тока в цепи с реактивными элементами и суммарным во всей цепи при резонансе может быть выражено:

    Где величина Q – добротность контура, а обратная добротности величина d = 1/Q – затухание контура.

    Энергетический процесс при резонансе тока аналогичен процессу при резонансе напряжения. Теперь имеем pL = — pC, то есть pL+ pC = 0. Соответственно энергия будет переходить от конденсатора к индуктивности и наоборот, без участия внешнего источника напряжения. Внешний источник энергии перекрывает только потери, возникающие в элементе g.

    ⓘ Энциклопедия — Резонанс токов

    1. Описание явления

    Имеется параллельный колебательный контур, состоящий из резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора C. {2}LC-1\right}{\omega L}}\right)} — сдвиг фаз между током и напряжением.

    Кроме того, полный ток контура является суммой токов, протекающих через конденсатор и катушку индуктивности

    I = I R + I L + I C = U R + U j ω L + j ω C U = U R + − j U ω L + U j ω C. {\displaystyle {\dot {I}}={\dot {I_{R}}}+{\dot {I_{L}}}+{\dot {I_{C}}}={\frac {\dot {U}}{R}}+{\frac {\dot {U}}{j\omega L}}+j\omega C{\dot {U}}={\frac {\dot {U}}{R}}+\left{\frac {-j{\dot {U}}}{\omega L}}\right+{\dot {U}}j\omega C.}

    Как видно из последнего выражения, токи I L {\displaystyle {\dot {I_{L}}}} и I C {\displaystyle {\dot {I_{C}}}} текут в противофазе у одного множитель − j {\displaystyle -j}, а у другого — множитель j {\displaystyle j}.

    При резонансной частоте ω = ω p = 1 L C {\displaystyle \omega =\omega _{p}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}} амплитуда тока в контуре примет значение I p = U R = I R {\displaystyle I_{p}={\frac {U}{R}}=I_{R}}.

    Амплитуды токов через катушку индуктивности L {\displaystyle L} и конденсатор C {\displaystyle C}, пропорциональные напряжению, при резонансной частоте ω = ω ρ {\displaystyle \omega =\omega _{\rho }} имеют значения

    I L p = U ω p L = U C L = U ρ, {\displaystyle I_{Lp}={\frac {U}{\omega _{p}L}}=U{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {U}{\rho }},} I C p = U ω p C = U C L = U ρ, {\displaystyle I_{Cp}=U\left\omega _{p}C\right=U{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {U}{\rho }},}

    где ρ {\displaystyle \rho } — характеристическое волновое сопротивление контура и равно ρ = ω p L = 1 ω p C = L C {\displaystyle \rho =\omega _{p}L={\frac {1}{\omega _{p}C}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}.

    Следовательно, на резонансной частоте токи, текущие в реактивных элементах, превышают общий ток в R ρ {\displaystyle {\frac {R}{\rho }}} раз. Отсюда и происходит название «резонанс токов» или «параллельный резонанс».

    физический смысл и применение, формулы и способы расчета

    Физическое явление параллельного резонанса широко применяется в радиоэлектронике. Для построения колебательных контуров, состоящих из активного и реактивного сопротивлений, следует собрать цепь из сопротивления, емкости, а также индуктивности. Для этого необходимо разобраться в назначении резонанса, нахождении сопротивления радиокомпонентов, его основном применении в радиотехнике, а также условии его возникновения.

    Общие сведения

    Электрическим сопротивлением проводника является свойство проводить электрический ток. Для построения и расчета колебательного контура необходимо знать способы нахождения активного и реактивного сопротивлений. Сопротивление для цепей, питающихся от переменного тока (ЦПТ), бывает следующих видов: активное, реактивное и полное.

    Активным сопротивлением ® является обыкновенный резистор. Реактивное состоит из следующих типов нагрузки: индуктивное и емкостное. Индуктивное (Xl) — сопротивление катушки индуктивности в цепи переменного тока, а емкостное (Xc) определяется наличием емкости в цепи (конденсатора).

    При сложении активного и реактивного сопротивлений получается полное сопротивление участка электрической цепи, которое обозначается литерой Z.

    Активное сопротивление

    Активным сопротивлением в ЦПТ называется наличие любой нереактивной нагрузки. Его можно рассчитать следующими способами: при помощи измерения величины сопротивления и расчетным методом. Для измерения R применяется прибор, который называется омметром. Омметр входит в состав комбинированных приборов измерения электрических величин, которые называются мультиметрами. Он подключается параллельно нагрузке, причем для проведения измерений следует выключить электрическую цепь, поскольку наличие тока приведет прибор к выходу из строя.

    Существует еще один способ, который является расчетным, однако он требует знаний в области физики. При вычислении величины R следует произвести измерения силы тока и напряжения, а точнее, их амплитудных значений (Uм и Iм соответственно). Это возможно сделать при помощи соответствующих приборов.

    Для измерения величины напряжения применяется вольтметр, а силу тока можно измерить при помощи амперметра. Кроме того, эти приборы измеряют только действующие значения напряжения (Uд) и силы тока (Iд). Для расчета амплитудных значений следует воспользоваться следующими формулами:

    1. Uм = Uд * sqrt (2).
    2. Iм = Iд * sqrt (2).

    ​Для расчета R, которое можно найти, используя закон Ома для участка цепи (Iм = Uм / R): R = Uм / Iм. Воспользовавшись соотношениями зависимостей амплитудных значений от действующих, возможно рассчитать R: R = Uд * sqrt (2) / Iд * sqrt (2) = Uд / Iд. На практике применяют способ измерения сопротивления омметром.

    Другие виды нагрузок

    При наличии в ЦПТ катушки индуктивности возникает Xl, которую необходимо только рассчитывать. Индуктивное сопротивление рассчитывается по формуле, для которой необходимы циклическая частота (w) и индуктивность катушки (L): Xl = w * L.

    Циклическая частота рассчитывается по следующей формуле, для которой необходимо только знать частоту переменного тока (f) и число ПИ (3,1416): w = 2 * 3,1416 * f. Индуктивность катушки рассчитывается, исходя из значений диаметра катушки (D в мм), числа витков (n) и длины намотки (l): L = (sqr (D/10) * sqr (n)) / (4,5 * D + 10 * l). Если подставить в формулу расчета индуктивного сопротивления все соотношения, то получается: Xl = 2 * 3,1416 * f * (sqr (D/10) * sqr (n)) / (4,5 * D + 10 * l).

    Если в ЦПТ присутствует конденсатор с емкостью C, то добавляется еще и емкостное сопротивление — Xl, которое рассчитывается по следующей формуле: Xc = 1 / (w * C) = 1 / (2 * 3,1416 * f * C). Полное сопротивление в ЦПТ обозначается литерой Z и рассчитывается по формуле: Z = sqrt [sqr® +sqr (Xс — Xl)]. Если подставить в формулу полного сопротивления соотношения, по которым находятся R, Xl и Xc, то получается следующая формула: Z = sqrt [sqr (Uд / Iд) +sqr ((1 / (2 * 3,1416 * f * C)) — (2 * 3,1416 * f * (sqr (D/10) * sqr (n)) / (4,5 * D + 10 * l))]. Для упрощения вычисления можно рассчитать отдельно значения R, Xc и Xl.

    Понятие о резонансе

    Резонанс в цепи переменного тока происходит при образовании резонансной частоты, при которой некоторые сопротивления компенсируют друг друга. Основными признаками резонанса являются:

    1. Совпадения по фазе U и I в цепи.
    2. Значение активного и полного сопротивлений совпадают: Z = R.
    3. Сила тока является максимальной.
    4. Падение величины U на R равно U, которое приложено к контуру LC.
    5. Выполняется равенство падений U на индуктивности и емкости, а также противоположность по фазе и больше приложенного напряжения: Ul > U, Ul = I * Xl = I * Xc и U = I * R.

    В последнем случае коэффициент усиления по напряжению рассчитываются следующим способом: Ku = Ul / U = sqrt (L/C) / R = p / R. Этот коэффициент называется добротностью контура и обозначается литерой Q. Волновое сопротивление контура обозначается p, которое вычисляется по формуле: p = sqrt (L/C).

    Резонанс в ЦПТ бывает двух видов: последовательный и параллельный. Для последовательного резонанса условием является минимальное сопротивление и нулевая фаза. В основном он применяется в схемах с реактивными составляющими L и C. При параллельном типе резонанса происходит равенство емкостных и индуктивных сопротивлений, которые компенсируют друг друга. Этот тип соединения должен постоянно быть равен расчетной величине. Он получил широкое применение, благодаря резкому минимуму импеданса. Импеданс — полное сопротивление в цепи переменного тока, который обозначается Z.

    Контур является схемой, в которой подключены параллельно или последовательно следующие элементы: резистор, катушка индуктивности и конденсатор.

    Эта схема образует осциллятор для тока с гармонической составляющей. Наличие сопротивления в схеме приводит к затуханию и уменьшает резонансную пиковую частоту.

    Во всей силовой радиоэлектронике применяются колебательные контуры. Примером его является силовой трансформатор. Кроме того, контур используется для настройки телевизоров, согласования антенн. Возможно применение в качестве полосового и режекторного фильтров, которые применяются в датчиках для распределения низких и высоких частот. Эффект резонанса применяется и в медицине при микротоковой терапии, и при проведении биорезонансной диагностики.

    Случаи для тока и напряжения

    В радиоэлектронике применяется резонанс напряжений и токов. Они отличаются друг от друга и применяются в определенных случаях. Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении в RLC-цепи (схема 1):

    Схема 1 — Последовательное соединение элементов.

    Основным условием возникновения резонанса является равенство частот источника питания и колебательного контура. Кроме того, Xc = Xl, они являются противоположными величинами (по знаку) и равны 0. Напряжения Uc и Ul противоположны по фазам и компенсируют друг друга, следовательно, Z = R. В результате этого происходит увеличение тока, так как при уменьшении сопротивления по закону Ома происходит увеличение I. Вырастает не только I, но и значения U на элементах схемы. При резонансе значения напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности могут быть больше относительно напряжения источника питания.

    При увеличении частоты значение Xl увеличивается, а Xc — уменьшается. При равенстве частот резонансной и источника питания значение Z будет уменьшаться. Резонансная частота находится по формуле: w = sqrt (1 / (L * C)). Резонанс в ЦПТ зависит от следующих величин: частоты источника питания — f, параметров L и C. Обмен электрической энергией осуществляется между катушкой и конденсатором через источник питания.

    Резонанс токов в цепи переменного тока возникает при параллельном включении активных и реактивных нагрузок. На схеме 2 изображен контур с параллельным соединением:

    Схема 2 — Параллельное соединение в RLC-контуре.

    В этом случае резонанс возникает при равенстве частот источника питания и резонансной, а также равенства проводимостей конденсатора (Bc) и катушки (Bl). Проводимость — величина, обратная сопротивлению. При увеличении частоты источника питания происходит рост полного сопротивления, при котором ток уменьшается. В результате этого, ток уменьшается и равняется активной составляющей. Для определения резонансной частоты следует воспользоваться алгоритмом нахождения этой величины:

    1. Удельные проводимости для резистора, катушки индуктивности и конденсатора: G = 1 / R, Bl = 1 / (w * L) и Bc = w * C соответственно.
    2. 1 / (w * L) = w * C.
    3. Резонансная частота вычисляется по формуле: w = sqrt (1 / (L * C)).

    Явление резонанса может привести к выходу из строя элементов схемы, приборов или устройств. Для того чтобы избежать этого, необходимо производить точные расчеты колебательных контуров.

    Расчет параллельного контура

    Необходимо сделать параллельный контур, частота резонанса которого равна 1,5 МГц. Для его изготовления нужно осуществить расчет, исходя из которого возможно будет его изготовить. Рассчитывать контур следует точно, поскольку любая неточность может привести к негативным последствиям. Основной задачей является расчет нужных индуктивности катушки и емкости конденсатора. Расчет осуществляется по следующему алгоритму:

    1. Вычислить необходимую индуктивность в мкГн при заданной емкости и частоте: L = sqr (159,12 / f) / C.
    2. Рассчитать количество витков (n) и диаметр каркаса (d в мм) катушки: n = 32 * sqrt (L / d).

    Пусть С = 2000 пФ, тогда L = sqr (159,12 / 2) / 2000 = 5,6 мкГн. Количество витков для катушки с d = 3 мм: n = 32 * sqr (5,6 / 3) = 112.

    Этот метод является приближенным, поскольку не учитывается межвитковое пространство катушки. Радиолюбители часто применяют уже готовые катушки, имеющие длину 15 мм с диаметром d = 3 мм. Вычислить можно, используя другую формулу: n = 8,5 * sqrt (L) = 8,5 * 2,3664 = 21.

    Таким образом, явление резонанса применяется при построении различной радиоаппаратуры и требует выполнения верных расчетов, поскольку даже при незначительных ошибках могут выйти из строя дорогостоящие детали.

    Резонанс токов и напряжение в цепи переменного тока

    Резонанс напряжений. Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенный конденсатор, катушку индуктивности и резистор (рис.21.5(а))

    , (21.31)

    то угол сдвиг фаз между током и напряжением (21.28) обращается в нуль (φ=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (21.38) удовлетворяет частота

    . (21.32)

    В данном случае полное сопротивление цепи Z становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном Um)значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (UR=U),а падения напряжений на конденсаторе (Uc)и катушке индуктивности (UL)одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений, а зависимость амплитуды силы тока от ω дана на рис. 21.6.

    Рис.21.6.

    В случае резонанса напряжений , поэтому, подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим

    , (21.33)

    где Q – добротность контура, определяемая выражением(21. 13). Так как добротностьобычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QUm,(Q в данном случае—добротность контура), которое может быть значительно больше Um. Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.



    Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L (рис. 21.7). Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь.

    Рис.21.7.

    Если приложенное напряжение изменяется по закону , то согласно формуле (21.30) в ветви 1С2 течет ток

    , (21.34)

    амплитуда которого определяется из выражения (21.29) при условии R=0 и L=0

    .

    Начальная фаза φ1 этого тока по формуле (21.28)определяется равенством ,

    , где n=1,2,3… (21.35)

    Аналогично сила тока в ветви 1L2 определяется из соотношения (21.29) при условии R=0, C= (условие отсутствия емкости в цепи) . Начальная фаза φ2этого тока , откуда

    , где n=1,2,3. (21.36)

    Из сравнения выражений (20.35) и (20.36) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна , т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи

    .

    Если , то и .

    Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенный конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ωрез называется резонансом токов (параллельным резонансом). В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений.

    Амплитуда сила тока оказалась равна нулю потому, что активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R,то разность фаз φ1— φ2 не будет равна л, поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I1 и I2компенсируются и сила тока I, в подводящих проводах, достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 и I2могут значительно превышать силу тока I.

    Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной, поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами. В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.


    Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

    Объяснитель урока: Резонанс в цепях переменного тока

    В этом пояснителе мы узнаем, как рассчитать резонансную частоту простых резистивно-емкостных индуктивных цепей.

    Цепь, содержащая резистор (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор (C), подключенную к источнику переменного разности потенциалов.
    показано на следующем рисунке.

    Источник переменной разности потенциалов чередует определенную частоту.

    Полное сопротивление цепи зависит от частоты переменной разности потенциалов.Увеличение частоты
    переменной разности потенциалов увеличивает индуктивное реактивное сопротивление и уменьшает емкостное реактивное сопротивление (но не в равной степени).
    Импеданс цепи зависит от абсолютной разницы между индуктивным и емкостным реактивным сопротивлением цепи.

    Полное сопротивление последовательной цепи переменного тока с индуктивностью и емкостью определяется формулой.

    Формула: Импеданс

    Импеданс цепи определяется выражением
    𝑍 = 𝑅 + (𝑋 − 𝑋) , 
    где 𝑅 — сопротивление цепи, 𝑋 — индуктивное сопротивление цепи,
    и 𝑋 — емкостное реактивное сопротивление цепи.

    Резонансная частота цепи — это частота приложенной переменной разности потенциалов, которая создает наибольшую
    ток в цепи.

    Переменная частота разности потенциалов около резонансной частоты генерирует токи, близкие к величине резонансной.
    частотный ток, тогда как частоты дальше от резонансной частоты генерируют токи меньшей величины.

    На следующем рисунке показано, как максимальный ток в цепи зависит от частоты.

    Из формулы для импеданса,
    𝑍 = 𝑅 + (𝑋 − 𝑋) , 
    мы можем видеть это когда
    𝑋 − 𝑋 = 0, 
    это должно быть так, что
    𝑍 = 𝑅,
    что соответствует минимальному сопротивлению цепи. Ток наибольший для этого импеданса.

    Значение емкостного реактивного сопротивления определяется формулой.

    Формула: Емкостное реактивное сопротивление

    Емкостное реактивное сопротивление a цепи с емкостью, несущей
    переменный ток с частотой определяется выражением
    𝑋 = 12𝜋𝑓𝐶.

    Значение индуктивного реактивного сопротивления определяется формулой.

    Формула: Индуктивное реактивное сопротивление

    Индуктивное реактивное сопротивление a цепи с индуктивностью, несущей переменный ток.
    ток с частотой определяется выражением
    𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿.

    Для минимального импеданса должно быть так, чтобы
    2𝜋𝑓𝐿 − 12𝜋𝑓𝐶 = 0.

    Это уравнение можно переформулировать следующим образом:
    2𝜋𝑓𝐿 = 12𝜋𝑓𝐶2𝜋𝑓 = 12𝜋𝑓𝐿𝐶 (2𝜋𝑓) = 1𝐿𝐶2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶, 
    где 𝑓 — резонансная частота контура.

    Отсюда получаем формулу для резонансной частоты.

    Формула: резонансная частота

    Резонансная частота цепи с индуктивностью и
    емкость 𝐶 определяется выражением
    2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶.

    Давайте теперь рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1: Определение резонансной частоты контура

    Какова резонансная частота контура, показанного на схеме? Дайте ответ с точностью до одного десятичного знака.

    Ответ

    Резонансная частота определяется выражением
    2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶.

    Подставляя значения, указанные в вопросе, получаем
    2𝜋𝑓 = 17.5 × 3,5 × 10. HF

    С точностью до одного десятичного знака 𝑓 составляет 3,1 Гц.

    Пример 2: Определение пикового тока в цепи, колеблющейся на своей резонансной частоте

    Цепь, содержащая последовательно включенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности, имеет резонансную частоту.
    372 Гц. Резистор имеет сопротивление
    440 Ом, а конденсатор имеет емкость
    112 мФ. Пиковое напряжение в цепи
    составляет 28 В. Каков пиковый ток в цепи при
    переменный ток в цепи имеет частоту 372 Гц?
    Ответьте с точностью до двух знаков после запятой.

    Ответ

    Резонансная частота контура заявлена ​​372 Гц.

    Вопрос требует определения пикового тока.

    Пиковая приложенная разность потенциалов составляет 28 В. Для определения
    пиковый ток, необходимо определить полное сопротивление цепи.

    Полное сопротивление цепи определяется выражением
    𝑍 = 𝑅 + (𝑋 − 𝑋) , 
    где 𝑅 — сопротивление цепи, 𝑋 — индуктивное сопротивление цепи,
    и 𝑋 — емкостное реактивное сопротивление цепи.

    Значения 𝑋 и 𝑋 не указаны. Эти значения можно найти по формулам
    для емкостного и индуктивного сопротивления цепи,
    𝑋 = 12𝜋𝑓𝐶, 𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿, 
    и резонансная частота контура,
    2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶.

    Однако, поскольку контур колеблется на своей резонансной частоте, это должно быть так, что
    𝑋 − 𝑋 = 0
    и, следовательно, что
    𝑍 = 𝑅.

    Чтобы найти наибольший ток, нам нужно только разделить наибольшую разность потенциалов на нем на:
    = 28440.VΩ

    С точностью до двух десятичных знаков 𝐼 равно 0.06 A.

    Пример 3: Определение емкости цепи, колеблющейся на своей резонансной частоте

    Цепь, в которой последовательно соединены конденсатор и катушка индуктивности, имеет резонансную частоту.
    575 кГц. Катушка индуктивности в цепи имеет индуктивность
    1,25 Гн. Какая емкость конденсатора?
    Ответ дайте в научном представлении с двумя десятичными знаками.

    Ответ

    Емкость конденсатора связана с резонансной частотой цепи, которая определяется выражением
    2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶,
    где указано равным 1.25 H и 𝑓 указано
    быть 575 кГц, что
    составляет 5,75 × 10 Гц.

    Формулу нужно переставить так, чтобы 𝐶 стал субъектом, следующим образом:
    (2𝜋𝑓) = 1𝐿𝐶𝐶 = 1 (2𝜋𝑓) 𝐿.

    Подставляя известные значения, получаем
    𝐶 = 1 (2𝜋 × 5,75 × 10) × 1,25.HzH

    В экспоненциальном представлении с точностью до двух десятичных знаков, 𝐶
    составляет 6,13 × 10 F.

    Пример 4: Определение индуктивного сопротивления цепи, колеблющейся на своей резонансной частоте

    Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку индуктивности, имеет резонансную частоту.
    155 кГц.Конденсатор в цепи имеет емкость
    215 мкФ. Какое индуктивное сопротивление цепи?
    Ответ дайте в научном представлении с двумя десятичными знаками.

    Ответ

    Индуктивное сопротивление цепи определяется выражением
    𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿, 
    где 𝑓 заявлено равным 155 кГц, что
    составляет 1,55 × 10 Гц,
    а 𝐿 — индуктивность катушки индуктивности.

    Стоимость 𝐿 не указана. Однако его можно найти, используя резонансную частоту контура,
    который дается
    2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶,
    где 𝐶 заявлено как 215 мкФ,
    что равно 2.15 × 10 F.

    Формулу для резонансной частоты необходимо изменить так, чтобы 𝐿 стал субъектом, следующим образом:
    (2𝜋𝑓) = 1𝐿𝐶𝐿 = 1 (2𝜋𝑓) 𝐶.

    Подставляя известные значения, получаем
    𝐿 = 1 (2𝜋 × 1,55 × 10) × 2,15 × 10𝐿≈4,9 × 10.HzFH

    Мы можем подставить это значение в
    𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿.

    В экспоненциальном представлении с точностью до двух десятичных знаков,
    составляет 4,78 × 10 Ом.

    Этот вопрос также можно решить, вспомнив, что на резонансной частоте цепи емкостные и индуктивные
    реактивные сопротивления равны, поэтому вместо индуктивного реактивного сопротивления можно было бы рассчитать емкостное реактивное сопротивление.Емкостное реактивное сопротивление можно определить просто по частоте и емкости цепи путем перестановки
    формулы
    𝑋 = 12𝜋𝑓𝐶, 
    поскольку значения 𝑓 и 𝐶 оба указаны в вопросе.

    Давайте теперь подведем итоги тому, что было изучено в этом объяснителе.

    Ключевые моменты

    • Резонансная частота последовательной цепи переменного тока, имеющей индуктивность и емкость, является частотой
      при которой приложенная переменная разность потенциалов генерирует наибольший ток.
    • На резонансной частоте цепи переменного тока полное сопротивление цепи равно сопротивлению цепи.
    • Резонансная частота цепи переменного тока определяется выражением
      2𝜋𝑓 = 1𝐿𝐶,
      где 𝐿 — индуктивность цепи, а 𝐶 — емкость цепи.

    Резонанс

    в цепи переменного тока — Университетская физика, том 2

    Цели обучения

    К концу раздела вы сможете:

    • Определите пиковую резонансную угловую частоту переменного тока для цепи RLC
    • Объясните ширину кривой зависимости средней мощности от угловой частоты и ее значение, используя такие термины, как полоса пропускания и коэффициент качества

    В последовательной цепи RLC (рисунок), амплитуда тока, из (рисунок),

    Если мы можем изменять частоту генератора переменного тока, сохраняя при этом постоянную амплитуду его выходного напряжения, то ток изменится соответствующим образом.График зависимости показан на (Рисунок).

    На резонансной частоте цепи RLC амплитуда тока находится на максимальном значении.

    В «Колебаниях» мы встретили похожий график, на котором амплитуда затухающего гармонического осциллятора была построена в зависимости от угловой частоты синусоидальной движущей силы (см. «Принудительные колебания»). Это сходство — больше, чем просто совпадение, как было показано ранее применением правила петли Кирхгофа к схеме (рисунок). Это дает

    или

    , где мы заменили i (t) dq (t) / dt.Сравнение (Рисунок) и, из «Колебаний», «Затухающие колебания» для затухающего гармонического движения ясно демонстрирует, что управляемая последовательная цепь RLC является электрическим аналогом управляемого затухающего гармонического генератора.

    Резонансная частота цепи RLC — это частота, на которой амплитуда тока максимальна, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения. При осмотре это соответствует угловой частоте, при которой полное сопротивление Z на (Рисунок) является минимальным, или когда

    и

    Это резонансная угловая частота контура.Подставляя в (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), мы находим, что при резонансе

    Следовательно, в резонансе цепь RLC является чисто резистивной, с приложенной ЭДС и током в фазе.

    Что происходит с мощностью при резонансе? (Рисунок) показывает, как средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока комбинации RLC, изменяется в зависимости от частоты. Кроме того, достигает максимума, когда Z, который зависит от частоты, является минимальным, то есть когда Таким образом, при резонансе средняя выходная мощность источника в последовательной цепи RLC является максимальной.Из (Рисунок) это максимум

    (рисунок) — типичный график зависимости максимальной выходной мощности. Ширина полосы резонансного пика определяется как диапазон угловых частот, в котором средняя мощность превышает половину максимального значения. Резкость пика описывается безразмерной величиной, известной как добротность Q схемы. По определению

    где — резонансная угловая частота. Высокая добротность указывает на резкий пик резонанса.Мы можем дать Q в терминах параметров схемы как

    Как и ток, средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока в цепь RLC, достигает пика на резонансной частоте.

    Резонансные цепи обычно используются для пропускания или отклонения выбранных частотных диапазонов. Это делается путем регулировки значения одного из элементов и, следовательно, «настройки» цепи на определенную резонансную частоту. Например, в радиоприемнике приемник настраивается на желаемую станцию ​​путем регулировки резонансной частоты его схемы в соответствии с частотой станции.Если схема настройки имеет высокую добротность, она будет иметь небольшую полосу пропускания, поэтому сигналы от других станций на частотах, даже немного отличающихся от резонансной частоты, имеют высокий импеданс и не проходят через схему. Сотовые телефоны работают аналогичным образом, передавая сигналы с частотой около 1 ГГц, которые настраиваются цепью индуктивности и конденсатора. Одним из наиболее распространенных применений конденсаторов является их использование в цепях синхронизации переменного тока, основанное на достижении резонансной частоты. Металлоискатель также использует сдвиг резонансной частоты при обнаружении металлов ((Рисунок)).

    Когда металлоискатель приближается к куску металла, самоиндукция одной из его катушек изменяется. Это вызывает сдвиг резонансной частоты цепи, содержащей катушку. Этот сдвиг фиксируется схемой и передается дайверу через наушники. (кредит: модификация работы Эрика Липпманна, ВМС США)

    Резонанс в цепи последовательного RLC (a) Какова резонансная частота цепи (рисунок)? (b) Если генератор переменного тока настроен на эту частоту без изменения амплитуды выходного напряжения, какова амплитуда тока?

    Стратегия

    Резонансная частота для цепи RLC рассчитывается по (рисунок), которая получается из баланса между реактивными сопротивлениями конденсатора и катушки индуктивности.Поскольку цепь находится в резонансе, сопротивление равно сопротивлению резистора. Затем максимальный ток рассчитывается делением напряжения на сопротивление.

    Решение

    1. Резонансная частота находится из (Рисунок):
       *** QuickLaTeX не может составить формулу:
      \ begin {array} {} \\ \\ \ hfill {f} _ {0} & = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {1} {LC}} = \ frac {1} {2 \ pi} \ phantom {\ rule {0. {- 3} \ phantom {\ rule {0.{2} \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text {Hz} \ text {.} \ Hfill \ end {array}
      
      *** Сообщение об ошибке:
      В преамбуле выравнивания вставлен пропущенный #.
      начальный текст: $ \ begin {array} {}
      Отсутствует $ вставлен.
      начальный текст: $ \ begin {array} {} \\ \\ \ hfill {f} _
      Отсутствует $ вставлен.
      начальный текст: $ \ begin {array} {} \\ \\ \ hfill {f} _ {0} &
      Вкладка «Дополнительное выравнивание» изменена на \ cr.
      начальный текст: $ \ begin {array} {} \\ \\ \ hfill {f} _ {0} &
      Отсутствует $ вставлен.
      начальный текст: ... ay} {} \\ \\ \ hfill {f} _ {0} & = \ frac {1} {2 \ pi}
      Extra}, или забытый $.начальный текст: ... ay} {} \\ \\ \ hfill {f} _ {0} & = \ frac {1} {2 \ pi}
      Ошибка пакета inputenc: символ Юникода × (U + 00D7)
      начальный текст: ... \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text {F} \ right)}
      Ошибка пакета inputenc: символ Юникода × (U + 00D7)
      начальный текст: ... \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text {F} \ right)}
      Отсутствует} вставлено.
      начальный текст: ... le {0.2em} {0ex}} \ text {F} \ right)}} \ hfill \\ &
      
       
    2. В резонансе сопротивление цепи чисто резистивное, а амплитуда тока составляет

    Значимость Если бы цепь не была настроена на резонансную частоту, нам потребовалось бы полное сопротивление всей цепи для расчета тока.

    Проверьте свое понимание Что происходит с резонансной частотой последовательной цепи RLC, когда следующие величины увеличиваются в 4 раза: (а) емкость, (б) самоиндукция и (в) сопротивление?

    а. вдвое; б. вдвое; c. тот же

    Проверьте свое понимание Резонансная угловая частота последовательной цепи RLC — это источник переменного тока, работающий на этой частоте, передает в цепь среднюю мощность в. Сопротивление цепи: Напишите выражение для ЭДС источника.

    Сводка

    • На резонансной частоте индуктивное реактивное сопротивление равно емкостному реактивному сопротивлению.
    • График зависимости средней мощности от угловой частоты для цепи RLC имеет пик, расположенный на резонансной частоте; резкость или ширина пика называется полосой пропускания.
    • Ширина полосы связана с безразмерной величиной, называемой коэффициентом качества. Высокое значение коэффициента качества — это острый или узкий пик.

    Проблемы

    (a) Рассчитайте резонансную угловую частоту последовательного контура RLC, для которой, и (b) Если R изменится на, что произойдет с резонансной угловой частотой?

    Резонансная частота последовательной цепи RLC равна Если самоиндукция в цепи равна 5.0 мГн, какая емкость в цепи?

    (a) Какова резонансная частота последовательного контура RLC с, и? (б) Какое сопротивление цепи при резонансе?

    Для последовательной цепи RLC,, и (a) Если к цепи подключен источник переменного тока переменной частоты, на какой частоте максимальная мощность рассеивается в резисторе? б) Каков коэффициент качества схемы?

    Источник переменного тока с амплитудой напряжения 100 В и переменной частотой f управляет последовательной цепью RLC с, и (a) Постройте график зависимости тока через резистор от частоты f.(b) Используйте график, чтобы определить резонансную частоту контура.

    (a) Какова резонансная частота последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности, если, и? (b) Если эта комбинация подключена к источнику 100 В, работающему на резонансной частоте, какова выходная мощность источника? (c) Какова добротность схемы? (d) Какова ширина полосы пропускания?

    а. 50 Гц; б. 50 Вт; c. 6,32; d. 50 рад / с

    Предположим, что катушка имеет собственную индуктивность 20.0 H и сопротивление. Какая (а) емкость и (б) сопротивление должны быть подключены последовательно с катушкой, чтобы создать цепь с резонансной частотой 100 Гц и добротностью 10?

    Генератор переменного тока подключен к устройству, внутренние схемы которого неизвестны. Мы знаем только ток и напряжение вне устройства, как показано ниже. Что вы можете сделать на основании предоставленной информации об электрической природе устройства и его потребляемой мощности?

    Реактивное сопротивление конденсатора больше, чем реактивное сопротивление катушки индуктивности, потому что ток опережает напряжение.Потребляемая мощность 30 Вт.

    Глоссарий

    полоса пропускания
    диапазон угловых частот, в которых средняя мощность превышает половину максимального значения средней мощности
    добротность
    безразмерная величина, описывающая резкость пика полосы пропускания; высокая добротность — острый или узкий резонансный пик
    резонансная частота
    частота, при которой амплитуда тока максимальна, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения

    Страница не найдена | MIT

    Перейти к содержанию ↓

    • Образование
    • Исследовать
    • Инновации
    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О MIT
    • Подробнее ↓

      • Прием + помощь
      • Студенческая жизнь
      • Новости
      • Выпускников
      • О MIT

    Меню ↓

    Поиск

    Меню

    Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
    Попробуйте поискать что-нибудь еще!

    Что вы ищете?

    Увидеть больше результатов

    Предложения или отзывы?

    12.5 Резонанс в цепи переменного тока — Введение в электричество, магнетизм и схемы

    ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

    К концу раздела вы сможете:

    • Определите пиковую резонансную угловую частоту переменного тока для цепи RLC
    • Объясните ширину кривой зависимости средней мощности от угловой частоты и ее значение, используя такие термины, как полоса пропускания и коэффициент качества

    В последовательной цепи, показанной на рисунке 12.3.1, амплитуда тока определяется уравнением 12.3,2,

    (12.5.1)

    Если мы можем изменять частоту генератора переменного тока, сохраняя при этом постоянную амплитуду его выходного напряжения, то ток изменится соответствующим образом. График зависимости показан на рисунке 12.5.1.

    (рисунок 12.5.1)

    Рисунок 12.5.1 На резонансной частоте цепи амплитуда тока находится на максимальном значении.

    Рисунок 12.5.1 имеет вид, аналогичный графику изменения амплитуды затухающего гармонического осциллятора в зависимости от угловой частоты синусоидальной движущей силы.Это сходство — больше, чем просто совпадение, как показывает применение правила петли Кирхгофа к схеме на рис. 12.3.1. Это дает

    (12.5.2)

    или

    , где мы заменили уравнение 12.5.2, имеет общую форму дифференциального уравнения для затухающего гармонического движения, демонстрируя, что ведомая последовательная цепь является электрическим аналогом ведомого затухающего гармонического генератора.

    Резонансная частота цепи — это частота, при которой амплитуда тока максимальна, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения.При осмотре это соответствует угловой частоте, при которой полное сопротивление в уравнении 12.5.1 является минимальным, или когда

    и

    (12.5.3)

    Это резонансная угловая частота контура. Подставляя ω0ω0 в уравнения 12.3.1, 12.3.2 и 12.3.3, мы находим, что при резонансе

    Следовательно, в резонансе цепь является чисто резистивной, с приложенной ЭДС и током в фазе.

    Что происходит с мощностью при резонансе? Уравнение 12.4.3 говорит нам, как средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока к комбинации, изменяется в зависимости от частоты. Кроме того, достигает максимума, когда, зависящее от частоты, является минимумом, то есть когда и Таким образом, при резонансе средняя выходная мощность источника в последовательной цепи является максимальной. Из уравнения 12.4.3 этот максимум составляет

    .

    Рисунок 12.5.2 представляет собой типичный график зависимости максимальной выходной мощности.Ширина полосы резонансного пика определяется как диапазон угловых частот, в котором средняя мощность превышает половину максимального значения. Резкость пика описывается безразмерной величиной, известной как добротность схемы. По определению

    (12.5.4)

    где — резонансная угловая частота. Высокий уровень указывает на резкий пик резонанса. Мы можем дать в терминах параметров схемы как

    (12.5.5)

    (рисунок 12.5.2)

    Рисунок 12.5.2 Как и ток, средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока в цепь, достигает пика на резонансной частоте.

    Резонансные цепи обычно используются для пропускания или отклонения выбранных частотных диапазонов. Это делается путем регулировки значения одного из элементов и, следовательно, «настройки» цепи на определенную резонансную частоту. Например, в радиоприемнике приемник настраивается на желаемую станцию ​​путем регулировки резонансной частоты его схемы в соответствии с частотой станции.Если схема настройки имеет высокий уровень, она будет иметь небольшую полосу пропускания, поэтому сигналы от других станций на частотах, даже немного отличающихся от резонансной частоты, сталкиваются с высоким импедансом и не проходят через схему. Сотовые телефоны работают аналогичным образом, передавая сигналы от окружающих, которые настраиваются цепью индуктивности и конденсатора. Одним из наиболее распространенных применений конденсаторов является их использование в цепях синхронизации переменного тока, основанное на достижении резонансной частоты. Металлоискатель также использует сдвиг резонансной частоты при обнаружении металлов (Рисунок 12.5.3).

    (рисунок 12.5.3)

    Рисунок 12.5.3 Когда металлоискатель приближается к куску металла, самоиндукция одной из его катушек изменяется. Это вызывает сдвиг резонансной частоты цепи, содержащей катушку. Этот сдвиг фиксируется схемой и передается дайверу через наушники.

    ПРИМЕР 12.5.1


    Резонанс в последовательной цепи

    (а) Какова резонансная частота цепи из Примера 12.2.1? (b) Если генератор переменного тока настроен на эту частоту без изменения амплитуды выходного напряжения, какова амплитуда тока?

    Стратегия

    Резонансная частота контура рассчитывается по уравнению 12.5.3, который исходит из баланса между реактивными сопротивлениями конденсатора и катушки индуктивности. Поскольку цепь находится в резонансе, сопротивление равно сопротивлению резистора. Затем максимальный ток рассчитывается делением напряжения на сопротивление.

    Решение

    а. Резонансная частота находится из уравнения 12.5.3:

    .

    г. В резонансе полное сопротивление цепи чисто резистивное, а амплитуда тока составляет

    .

    Значение

    Если бы цепь не была настроена на резонансную частоту, нам потребовалось бы полное сопротивление всей цепи для расчета тока.

    ПРИМЕР 12.5.2


    Передача мощности в цепи последовательного RLC при резонансе

    (а) Какова резонансная угловая частота контура с и? (b) Если на эту частоту установлен источник переменного тока постоянной амплитуды, какова средняя мощность, передаваемая в цепь? (c) Определите полосу пропускания этой цепи.

    Стратегия

    Резонансная угловая частота рассчитывается по уравнению 12.5.3. Средняя мощность рассчитывается на основе действующего напряжения и сопротивления в цепи.Добротность рассчитывается по уравнению 12.5.5, зная резонансную частоту. Полоса пропускания рассчитывается по уравнению 12.5.4 и с учетом коэффициента качества.

    Решение

    а. Резонансная угловая частота

    г. На этой частоте средняя мощность, передаваемая в цепь, является максимальной. Это

    г. Добротность схемы

    .

    Затем находим для пропускной способности

    Значение

    Если требуется более узкая полоса пропускания, могут помочь более низкое сопротивление или более высокая индуктивность.Однако более низкое сопротивление увеличивает мощность, передаваемую в схему, что может быть нежелательно, в зависимости от максимальной мощности, которая может быть передана.

    ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 12,6

    ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 12,7

    Что происходит с резонансной частотой последовательной цепи, когда следующие величины увеличиваются в раз: (а) емкость, (б) самоиндукция и (в) сопротивление?

    ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 12.8

    Резонансная угловая частота последовательной цепи равна. Источник переменного тока, работающий на этой частоте, передает в цепь среднюю мощность. Сопротивление цепи: Напишите выражение для ЭДС источника.

    Кандела Цитаты

    Лицензионный контент CC, особая атрибуция

    • Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected] Получено с: http: // cnx.org/contents/[email protected] Лицензия: CC BY: Attribution

    15.S: Цепи переменного тока (Резюме) — Physics LibreTexts

    Ключевые термины

    Трансформатор

    Трансформатор

    Уравнение

    переменный ток ток, синусоидально колеблющийся во времени с фиксированной частотой
    напряжение переменного тока напряжение, которое синусоидально колеблется во времени с фиксированной частотой
    переменный ток (ac) Поток электрического заряда, который периодически меняет направление
    средняя мощность среднее по времени мгновенной мощности за один цикл
    полоса пропускания диапазон угловых частот, в которых средняя мощность больше половины максимального значения средней мощности
    емкостное реактивное сопротивление Противодействие конденсатора изменению тока
    постоянный ток (dc) Поток электрического заряда только в одном направлении
    импеданс переменного тока аналог сопротивления в цепи постоянного тока, который измеряет комбинированное влияние сопротивления, емкостного реактивного сопротивления и индуктивного реактивного сопротивления
    индуктивное сопротивление Противодействие катушки индуктивности изменению тока
    фазовый угол величина, на которую напряжение и ток не совпадают по фазе друг с другом в цепи
    Коэффициент мощности величина, на которую мощность, передаваемая в цепи, меньше теоретического максимума цепи из-за того, что напряжение и ток не совпадают по фазе
    добротность безразмерная величина, описывающая резкость пика полосы пропускания; высокая добротность — острый или узкий пик резонанса
    резонансная частота частота, при которой амплитуда тока максимальна, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения
    действующее значение тока среднеквадратичное значение текущего
    действующее напряжение среднеквадратичное значение напряжения
    понижающий трансформатор, понижающий напряжение и увеличивающий ток
    повышающий трансформатор, повышающий напряжение и понижающий ток
    трансформатор устройство, которое преобразует напряжения из одного значения в другое с помощью индукции
    уравнение трансформатора, показывающее, что отношение вторичного напряжения к первичному в трансформаторе равно отношению количества витков в их обмотках

    Ключевые уравнения

    Напряжение переменного тока \ (\ Displaystyle v = V_0sinωt \)
    Переменный ток \ (\ Displaystyle я = I_0sinωt \)
    емкостное реактивное сопротивление \ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {V_0} {I_0} = \ гидроразрыва {1} {ωC} = X_C \)
    действующее напряжение \ (\ Displaystyle V_ {rms} = \ frac {V_0} {\ sqrt {2}} \)
    действующее значение тока \ (\ Displaystyle I_ {rms} = \ frac {I_0} {\ sqrt {2}} \)
    индуктивное сопротивление \ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {V_0} {I_0} = ωL = X_L \)
    Фазовый угол цепи последовательного RLC \ (\ Displaystyle ϕ = загар ^ {- 1} \ гидроразрыва {X_L − X_C} {R} \)
    Вариант закона Ома по переменному току \ (\ Displaystyle I_0 = \ гидроразрыва {V_0} {Z} \)
    Импеданс цепи серии RLC \ (\ Displaystyle Z = \ sqrt {R ^ 2 + (X_L − X_C) ^ 2} \)
    Средняя мощность, связанная с элементом схемы \ (\ Displaystyle P_ {ave} = \ frac {1} {2} I_0V_0cosϕ \)
    Средняя мощность, рассеиваемая резистором \ (\ displaystyle P_ {ave} = \ frac {1} {2} I_0V_0 = I_ {rms} V_ {rms} = I ^ 2_ {rms} R \)
    Резонансная угловая частота контура \ (\ Displaystyle ω_0 = \ sqrt {\ frac {1} {LC}} \)
    Добротность схемы \ (\ Displaystyle Q = \ гидроразрыва {ω_0} {Δω} \)
    Добротность цепи по параметрам цепи \ (\ Displaystyle Q = \ гидроразрыва {ω_0L} {R} \)
    Уравнение трансформатора с напряжением \ (\ displaystyle \ frac {V_S} {V_P} = \ frac {N_S} {N_P} \)
    Уравнение трансформатора с током \ (\ Displaystyle I_S = \ гидроразрыва {N_P} {N_S} I_P \)

    Резюме

    15.2 источника переменного тока

    • Постоянный ток (dc) относится к системам, в которых напряжение источника постоянно.
    • Переменный ток (ac) относится к системам, в которых напряжение источника периодически изменяется, особенно синусоидально.
    • Источник напряжения системы переменного тока выдает напряжение, которое рассчитывается по времени, пиковому напряжению и угловой частоте.
    • В простой схеме ток определяется делением напряжения на сопротивление.Переменный ток рассчитывается с использованием пикового тока (определяемого делением пикового напряжения на сопротивление), угловой частоты и времени.

    15.3 Простые цепи переменного тока

    • Для резисторов сквозной ток и напряжение совпадают по фазе.
    • Для конденсаторов мы обнаруживаем, что когда на конденсатор подается синусоидальное напряжение, напряжение следует за током на одну четверть цикла. Поскольку конденсатор может останавливать ток при полной зарядке, он ограничивает ток и предлагает другую форму сопротивления переменному току, называемую емкостным реактивным сопротивлением, которое измеряется в омах.
    • Для катушек индуктивности в цепях переменного тока мы обнаруживаем, что когда на индуктор подается синусоидальное напряжение, оно опережает ток на одну четверть цикла.
    • Сопротивление катушки индуктивности изменению тока выражается как тип реактивного сопротивления переменного тока. Это индуктивное реактивное сопротивление, измеряемое в омах, зависит от частоты источника переменного тока.

    Цепи серии 15,4 RLC с AC

    • Последовательная цепь RLC представляет собой последовательную комбинацию резистора, конденсатора и индуктора через источник переменного тока.
    • Одинаковый ток течет через каждый элемент последовательной цепи RLC во все моменты времени.
    • Сопротивлением в цепи постоянного тока является импеданс, который измеряет комбинированное воздействие резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Максимальный ток определяется версией закона Ома для переменного тока.
    • Импеданс измеряется в омах и определяется как сопротивление, емкостное реактивное сопротивление и индуктивное реактивное сопротивление.

    15,5 Мощность в цепи переменного тока

    • Средняя мощность переменного тока определяется путем умножения действующих значений тока и напряжения.
    • Закон

    • Ома для среднеквадратичного значения переменного тока находится делением среднеквадратичного напряжения на полное сопротивление.
    • В цепи переменного тока существует фазовый угол между напряжением источника и током, который можно найти, разделив сопротивление на полное сопротивление.
    • Средняя мощность, подаваемая в цепь RLC, зависит от фазового угла.
    • Коэффициент мощности составляет от –1 до 1.

    15,6 Резонанс в цепи переменного тока

    • На резонансной частоте индуктивное реактивное сопротивление равно емкостному реактивному сопротивлению.
    • График зависимости средней мощности от угловой частоты для цепи RLC имеет пик, расположенный на резонансной частоте; резкость или ширина пика называется полосой пропускания.
    • Ширина полосы связана с безразмерной величиной, называемой коэффициентом качества. Высокое значение коэффициента качества — это острый или узкий пик.

    15,7 Трансформаторы

    • Электростанции передают высокое напряжение при малых токах для достижения более низких омических потерь на многокилометровых линиях передачи.
    • Трансформаторы

    • используют индукцию для преобразования напряжения из одного значения в другое.
    • Для трансформатора напряжения на первичной и вторичной катушках или обмотках связаны уравнением трансформатора.
    • Токи в первичной и вторичной обмотках связаны количеством первичных и вторичных петель или витков в обмотках трансформатора.
    • Повышающий трансформатор увеличивает напряжение и снижает ток, тогда как понижающий трансформатор снижает напряжение и увеличивает ток.

    Авторы и авторство

    Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

    Резонансных цепей RLC

    Резонансные цепи используются для избирательного реагирования на сигналы заданной частоты при одновременном различении сигналов разных частот.Если характеристика схемы имеет более узкий пик около выбранной частоты, мы говорим, что схема имеет более высокую «избирательность». «Фактор качества» Q, как описано ниже, является мерой этой избирательности, и мы говорим о схеме, имеющей «высокую добротность», если она является более узкоселективной.

    Примером применения резонансных схем является выбор радиоприемником AM радиостанций. Избирательность настройки должна быть достаточно высокой, чтобы четко различать станции выше и ниже по несущей частоте, но не настолько высокой, чтобы различать «боковые полосы», создаваемые наложением сигнала амплитудной модуляцией.

    Селективность цепи зависит от величины сопротивления в цепи. Варианты последовательного резонансного контура справа следуют примеру Serway & Beichner. Чем меньше сопротивление, тем выше Q для данных значений L и C. Параллельный резонансный контур чаще используется в электронике, но алгебра, необходимая для характеристики резонанса, гораздо сложнее.

    Используя те же параметры схемы, рисунок слева показывает мощность, рассеиваемую в цепи, как функцию частоты.Поскольку эта мощность зависит от квадрата тока, эти резонансные кривые кажутся круче и уже, чем резонансные пики для тока, указанные выше.

    Добротность Q определяется формулой

    , где Δω — ширина резонансной кривой мощности на половине высоты.

    Поскольку эта ширина оказывается равной Δω = R / L, значение Q также можно выразить как

    Q — это обычно используемый параметр в электронике, значения которого обычно находятся в диапазоне от Q = 10 до 100 для схемных приложений.

    Index

    AC Circuits

    Reference
    Serway & Beichner
    Ch 33

    15.5 Резонанс в цепи переменного тока — University Physics Volume 2

    Learning Objectives

    К концу раздела вы сможете:

    • Определите пиковую резонансную угловую частоту переменного тока для цепи RLC
    • Объясните ширину кривой зависимости средней мощности от угловой частоты и ее значение, используя такие термины, как полоса пропускания и коэффициент качества

    В последовательной цепи RLC на Рисунке 15.11, амплитуда тока из уравнения 15.10 равна

    I0 = V0R2 + (ωL − 1 / ωC) 2. I0 = V0R2 + (ωL − 1 / ωC) 2.

    15,15

    Если мы можем изменять частоту генератора переменного тока, сохраняя при этом постоянную амплитуду его выходного напряжения, то ток изменится соответствующим образом. График зависимости I0I0 от ωω показан на рисунке 15.17.

    Рисунок 15.17 На резонансной частоте цепи RLC, ω0 = 1 / LC, ω0 = 1 / LC, амплитуда тока находится на максимальном значении.

    В «Колебаниях» мы встретили похожий график, на котором амплитуда затухающего гармонического осциллятора была построена в зависимости от угловой частоты синусоидальной движущей силы (см. «Принудительные колебания»).Это сходство — больше, чем просто совпадение, как было показано ранее применением правила петли Кирхгофа к схеме на рис. 15.11. Это дает

    Ldidt + iR + qC = V0sinωt, Ldidt + iR + qC = V0sinωt,

    15,16

    или

    Ld2qdt2 + Rdqdt + 1Cq = V0sinωt, Ld2qdt2 + Rdqdt + 1Cq = V0sinωt,

    , где мы заменили i (t) dq (t) / dt. Сравнение уравнения 15.16 и, из «Колебаний», «Затухающие колебания» для затухающего гармонического движения ясно демонстрирует, что ведомая последовательная цепь RLC является электрическим аналогом ведомого затухающего гармонического генератора.

    Резонансная частота f0f0 цепи RLC — это частота, на которой амплитуда тока является максимальной, и цепь будет колебаться, если не будет управляться источником напряжения. При осмотре это соответствует угловой частоте ω0 = 2πf0ω0 = 2πf0, при которой полное сопротивление Z в уравнении 15.15 является минимальным, или когда

    и

    Это резонансная угловая частота контура. Подставляя ω0ω0 в уравнения 15.9, 15.10 и 15.11, мы находим, что при резонансе

    ϕ = tan − 1 (0) = 0, I0 = V0 / R и Z = R.ϕ = tan − 1 (0) = 0, I0 = V0 / R и Z = R.

    Следовательно, в резонансе цепь RLC является чисто резистивной, с приложенной ЭДС и током в фазе.

    Что происходит с мощностью при резонансе? Уравнение 15.14 говорит нам, как средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока комбинации RLC, изменяется в зависимости от частоты. Кроме того, PavePave достигает максимума, когда Z, которое зависит от частоты, является минимумом, то есть когда XL = XCandZ = R.XL = XCandZ = R. Таким образом, при резонансе средняя выходная мощность источника в последовательной цепи RLC является максимальной.Из уравнения 15.14 этот максимум составляет Vrms2 / R.Vrms2 / R.

    Рисунок 15.18 представляет собой типичный график зависимости PavePave от ωω в области максимальной выходной мощности. Ширина полосы ΔωΔω резонансного пика определяется как диапазон угловых частот ωω, в котором средняя мощность PavePave превышает половину максимального значения Pave.Pave. Резкость пика описывается безразмерной величиной, известной как добротность Q схемы. По определению

    Q = ω0Δω, Q = ω0Δω,

    15.18

    где ω0ω0 — резонансная угловая частота. Высокая добротность указывает на резкий пик резонанса. Мы можем дать Q в терминах параметров схемы как

    Рисунок 15.18 Подобно току, средняя мощность, передаваемая от генератора переменного тока в цепь RLC, достигает пика на резонансной частоте.

    Резонансные цепи обычно используются для пропускания или отклонения выбранных частотных диапазонов. Это делается путем регулировки значения одного из элементов и, следовательно, «настройки» цепи на определенную резонансную частоту.Например, в радиоприемнике приемник настраивается на желаемую станцию ​​путем регулировки резонансной частоты его схемы в соответствии с частотой станции. Если схема настройки имеет высокую добротность, она будет иметь небольшую полосу пропускания, поэтому сигналы от других станций на частотах, даже немного отличающихся от резонансной частоты, имеют высокий импеданс и не проходят через схему. Сотовые телефоны работают аналогичным образом, передавая сигналы с частотой около 1 ГГц, которые настраиваются цепью индуктивности и конденсатора.Одним из наиболее распространенных применений конденсаторов является их использование в цепях синхронизации переменного тока, основанное на достижении резонансной частоты. Металлоискатель также использует сдвиг резонансной частоты при обнаружении металлов (рис. 15.19).

    Рисунок 15.19 Когда металлоискатель приближается к куску металла, самоиндукция одной из его катушек изменяется. Это вызывает сдвиг резонансной частоты цепи, содержащей катушку. Этот сдвиг фиксируется схемой и передается дайверу через наушники.(кредит: модификация работы Эрика Липпманна, ВМС США)

    Пример 15.4

    Резонанс в последовательной цепи RLC

    (a) Какова резонансная частота цепи, использующей значения напряжения и LRC, соединенные последовательно из Примера 15.1? (b) Если генератор переменного тока настроен на эту частоту без изменения амплитуды выходного напряжения, какова амплитуда тока?

    Стратегия

    Резонансная частота для цепи RLC рассчитывается по уравнению 15.17, которое получается из баланса между реактивными сопротивлениями конденсатора и катушки индуктивности.Поскольку цепь находится в резонансе, сопротивление равно сопротивлению резистора. Затем максимальный ток рассчитывается делением напряжения на сопротивление.

    Решение
    1. Резонансная частота находится из уравнения 15.17:
      f0 = 12π1LC = 12π1 (3,00 × 10–3H) (8,00 × 10–4F) = 1,03 × 102 Гц. f0 = 12π1LC = 12π1 (3,00 × 10–3H) (8,00 × 10–4F) = 1,03 × 102 Гц.
    2. В резонансе полное сопротивление цепи является чисто резистивным, а амплитуда тока равна
      I0 = 0,100 В 4,00 Ом = 2,50 × 10–2 А. I0 = 0,100 В 4,00 Ом = 2,50 × 10–2 А.
    Значение

    Если бы цепь не была настроена на резонансную частоту, нам потребовалось бы полное сопротивление всей цепи для расчета тока.

    Пример 15,5

    Передача мощности в цепи последовательного RLC при резонансе

    (a) Какова резонансная угловая частота цепи RLC с R = 0,200 Ом, R = 0,200 Ом, L = 4,00 × 10–3H, L = 4,00 × 10–3H и C = 2,00 × 10–6F? C = 2,00 × 10−6F? (b) Если на эту частоту установлен источник переменного тока постоянной амплитуды 4,00 В, какова средняя мощность, передаваемая в цепь? (c) Определите Q и полосу пропускания этой цепи.

    Стратегия

    Резонансная угловая частота рассчитывается по уравнению 15.17. Средняя мощность рассчитывается на основе действующего напряжения и сопротивления в цепи. Добротность рассчитывается по уравнению 15.19, зная резонансную частоту. Полоса пропускания рассчитывается по уравнению 15.18 с учетом коэффициента качества.

    Решение
    1. Резонансная угловая частота равна
      ω0 = 1LC = 1 (4,00 × 10–3H) (2,00 × 10–6F) = 1,12 × 104рад / с. ω0 = 1LC = 1 (4,00 × 10–3H) (2,00 × 10–6F) = 1.12 × 104рад / с.
    2. На этой частоте средняя мощность, передаваемая в цепь, является максимальной. это
      Pave = Vrms2R = [(1/2) (4.00V)] 20.200Ω = 40.0W. Pave = Vrms2R = [(1/2) (4.00V)] 20.200Ω = 40.0W.
    3. Добротность схемы составляет
      Q = ω0LR = (1,12 × 104рад / с) (4,00 × 10–3H) 0,200 Ом = 224. Q = ω0LR = (1,12 × 104рад / с) (4,00 × 10–3H) 0,200 Ом = 224.

    Затем находим для пропускной способности

    Δω = ω0Q = 1,12 × 104рад / с224 = 50,0рад / с. Δω = ω0Q = 1,12 × 104рад / с224 = 50,0рад / с.

    Значение

    Если требуется более узкая полоса пропускания, могут помочь более низкое сопротивление или более высокая индуктивность.Однако более низкое сопротивление увеличивает мощность, передаваемую в схему, что может быть нежелательно, в зависимости от максимальной мощности, которая может быть передана.

    Проверьте свое понимание 15.6

    В схеме на рисунке 15.11 L = 2,0 × 10–3H, L = 2,0 × 10–3H, C = 5,0 × 10–4F, C = 5,0 × 10–4F и R = 40 Ом, R = 40 Ом. а) Что такое резонансная частота? (б) Какое сопротивление цепи при резонансе? (c) Если амплитуда напряжения составляет 10 В, каково значение i (t) при резонансе? (d) Частота генератора переменного тока теперь изменена на 200 Гц.Рассчитайте разность фаз между током и ЭДС генератора.

    Проверьте свое понимание 15,7

    Что происходит с резонансной частотой последовательной цепи RLC, когда следующие величины увеличиваются в 4 раза: (а) емкость, (б) самоиндукция и (в) сопротивление?

    Проверьте свое понимание 15.8

    Резонансная угловая частота последовательной цепи RLC составляет 4,0 × 102рад / с. 4,0 × 102рад / с. Источник переменного тока, работающий на этой частоте, передает в среднем мощность 2.0 × 10−2Вт 2,0 × 10−2Вт на схему. Сопротивление цепи составляет 0,50 Ом 0,50 Ом. Напишите выражение для ЭДС источника.

    .