Изобразите схему связывающую основные понятия: Урок 7. Представление вещественных чисел в компьютере

Урок 7. Представление вещественных чисел в компьютере

Урок 7. Представление вещественных чисел в компьютере

Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

 где:

m — мантисса числа; 
q — основание системы счисления; 
p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 • 108, 47,2 • 107, 472,0 • 106 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 • 109.

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 11111112 = 12710, и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 • 101111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

 где:

m — мантисса числа; 
q — основание системы счисления; 
p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 6310 в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100; 
б) 00010101.

6. Какие из чисел 4438, 1010102, 25610 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 • 102
б) 0,245 • 10-3
в) 1,256900Е+5; 
г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,010210 пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

а) 217,93410
б) 7532110
в) 0,0010110.

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Электронное приложение к уроку

 Презентация «Представление информации в компьютере»

 Презентация «Представление информации в компьютере» (Open Document Format)

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:

Презентации, плакаты, текстовые файлыВернуться к материалам урокаРесурсы ЭОР

Cкачать материалы урока

§ 1.

2. Представление чисел в компьютере


Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление


Ключевые слова:

  • разряд
  • беззнаковое представление целых чисел
  • представление целых чисел со знаком
  • представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2n-1. Минимальное число соответствует n нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1. Число 5310 = 1101012 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом. В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).


1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

  • m — мантисса числа;
  • q — основание системы счисления;
  • р — порядок числа.

Например, число 472 000 000 может быть представлено так: 4,72 • 108, 47,2 • 107, 472,0 • 106 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 000 000 будет представлено как 0,472 • 109.

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 11111112 = 12710, и, следовательно, максимальное значение числа:

  • 0,11111111111111111111111 • 101111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.


Самое главное о представление чисел в компьютере

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда. Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности. При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном. Вещественные числа в компьютере хранятся в формате с плавающей запятой. При этом любое число записывается так:

А = ±m • qP,

где:

  • m — мантисса числа;
  • q — основание системы счисления;
  • р — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа.

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел

4. Представьте число 6310 в без знаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам записанный в 8 разрядном формате со знаком: А)01001100 Б)00010101

6. Какие из чисел 4438, 1010102, 25610 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме: а) 0,3800456 · 102; б) 0,245 · 10−3; в) 1,256900Е+5; г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010 0102 пятью различными способами в экспоненциальной форме

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой правильной дробью, имеющей после запятой цифру отличную от нуля

10. Изобразите схему связывающую основные понятия рассмотренные, а данном параграфе


Оглавление

§ 1.1. Системы счисления

§ 1.2. Представление чисел в компьютере

§ 1.3. Элементы алгебры логики


Любое целое число можно рассматривать.

Представление чисел в компьютере

§ 1.2. Представление чисел в компьютере

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 63 10 в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

6. Какие из чисел 443 8 , 101010 2 , 256 10 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

    а) 0,3800456 10 2 ;

    б) 0,245 10 -3 ;

    а) 1,256900Е+5;

    а) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102 10 пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

    а) 217,934 10 ;

    б) 75321 10 ;

    в) 0,00101 10 .

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Ответы: Представление чисел в компьютере

    9. а) 0,217934 10 3 ; б) 0,75321 10 5 ; в) 0,101 10 -2 .

Ключевые слова:

  • разряд
  • беззнаковое представление целых чисел
  • представление целых чисел со знаком
  • представление вещественных чисел
  • формат с плавающей запятой

1.2.1. Представление целых чисел

Память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разрядов двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов представления, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разрядов) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Широкое распространение в вычислительной технике получили беззнаковые данные. К ним относятся такие объекты, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует n нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1. Число 53 10 = 110101 2 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается О, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом. В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в нормальной (научной, экспоненциальной) форме:

А = ±m q p ,

    m — мантисса числа;

    р — порядок числа.

Например, число 472 000 000 может быть представлено так: 47,2 10 7 , 472 10 6 , 4720 10 7 и т. д.

С нормальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4. 72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться. Поэтому представление в компьютере вещественных чисел в нормальной форме называется представлением в формате с плавающей запятой.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 000 000 будет представлено как 0,472 10 9

Число в формате с плавающей запятой может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа, как видно из приведённого выше примера, составляет 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 10 1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления чисел в формате с плавающей запятой важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки чисел в формате с плавающей запятой более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

Самое главное

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

Вещественные числа в компьютере хранятся в формате с плавающей запятой. При этом любое число записывается так:

А = ±m q p ,

    m — мантисса числа;

    q — основание системы счисления;

    р — порядок числа.

Вопросы и задания

  1. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?
  2. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.
  3. Представьте число 63 10 в беззнаковом 8-разрядном формате.
  4. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:
  5. Какие из чисел 443 8 , 101010 2 , 256 10 можно сохранить в 8-разрядном формате?
  6. Запишите следующие числа в естественной форме:

      а) 0,3800456 10 2 ;

      б) 0,245 10 -3 ;

      в) 1,256900Е+5;

      г) 9,569120Е-3.

  7. Запишите число 2010,0102 10 пятью различными способами в нормальной форме.
  8. Запишите следующие числа в нормальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

    а) 217,934 10 ;

    в) 0,00101 10 .

  9. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Представление информации в компьютере.

1. Представление целых чисел

2. Представление вещественных чисел

3. Представление текстовой информации

4. Представление графической и видеоинформации

5. Представление звуковой информации

6. Методы сжатия цифровой информации

С конца XX века, века компьютеризации, человечество ежедневно пользуется двоичной системой счисления, так как вся информация, обрабатываемая современными компьютерами, представлена в двoичном виде.

Каждый регистр арифметического устройства компьютера, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов, обладающих двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для записи одного из разрядов двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом.

(k-1)-й разряд ……… 1-й разряд 0-й разряд

Рис.1 Ячейка из k –разрядов.

Вычислительная техника возникла как средство автоматизации вычислений, именно поэтому первые компьютеры назывались ЭВМ — электронно-вычислительными машинами. Сегодня компьютеры обрабатывают различные виды информации: числовую, текстовую, звуковую, графическую. Однако современный компьютер может хранить и обрабатывать только дискретную информацию. Следовательно, любой вид информации, подлежащий компьютерной обработке, тем или иным способом должен быть закодирован с помощью конечной последовательности целых чисел, которая затем переводится в двоичный вид для хранения в компьютере.

В данной лекции мы рассмотрим, каким образом решается проблема преобразования исходной информации в компьютерное представление для каждого вида информации. Будет показано, насколько точно компьютерное представление отражает исходную информацию, причем слово «точно» здесь применяется не только к числам (точность представления), но и к другим видам информации. А именно, рассматривается степень реалистичности передачи оттенков цвета на мониторе, степень приближенности воспроизводимой музыки к естественному звучанию музыкальных инструментов или голосу человека и т. д. Задача перевода информации естественного происхождения в компьютерную называется задачей дискретизации
или квантования
. Эту задачу необходимо решать для всех видов информации. Способы дискретизации для разных видов информации различны, но подходы к решению этой задачи построены на одинаковых принципах.

Представление целых чисел.

Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью, т. е. можно было бы ограничиться представлением в компьютере вещественных чисел и реализацией арифметических действий над ними. Однако для эффективного использования памяти, повышения скорости выполнения вычислений и введения операции деления нацело с остатком целые числа представляются специально для них предназначенными способами.

Введение специальных способов представления целых чисел оправдано тем, что достаточно часто в задачах, решаемых с помощью компьютера, многие действия сводятся к операциям над целыми числами. Например, в задачах экономического характера данными служат количества акций, сотрудников, деталей, транспортных средств и т. д., по своему смыслу являющиеся целыми числами. Целые числа используются и для обозначения даты и времени, и для нумерации различных объектов: элементов массивов, записей в базах данных, машинных адресов и т. п.

Для компьютерного представления целых чисел обычно используется несколько различных способов представления, отличающихся друг от друга количеством разрядов и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

При беззнаковом представлении все разряды ячейки отводятся под само число. При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под собственно число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Очевидно, в ячейках одного и того же размера можно представить больший диапазон целых неотрицательных чисел в беззнаковом представлении, чем чисел со знаком. Например, в одном байте (8 разрядов) можно записать положительные числа от 0 до 255, а со знаком — только до 127. Поэтому, если известно заранее, что некоторая числовая величина всегда является неотрицательной, то выгоднее рассматривать ее как беззнаковую.

Говорят, что целые числа в компьютере хранятся в формате с фиксированной запятой
(другая трактовка – с фиксированной точкой
).

Представление целых положительных чисел.

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа в k-разрядной ячейке памяти достаточно перевести его в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до k разрядов. Понятно, что существует ограничение на числа, которые мы можем записать в k-разрядную ячейку.

Максимально представимому числу соответствуют единицы во всех разрядах ячейки (двоичное число, состоящее из k единиц). Для k-разрядного представления оно будет равно 2 k — 1. Минимальное число представляется нулями во всех разрядах ячейки, оно всегда равно нулю. Ниже приведены максимальные числа для беззнакового представления при различных значениях k:

При знаковом представлении целых чисел возникают такие понятия, как прямой, обратный и дополнительный коды

.

Определение 1. Представление числа в привычной для человека форме «знак-величина

», при которой старший разряд ячейки отводится под знак, остальные k — 1
разрядов — под цифры числа, называется
прямым кодом
.

Например, прямые коды двоичных чисел 11001 2

и -11001 2

для восьмиразрядной ячейки равны 00011001

и 10011001

соответственно. Положительные целые числа представляются в компьютере с помощью прямого кода.
Прямой код отрицательного целого числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа содержимым знакового разряда. Но вместо прямого кода для представления отрицательных целых чисел в компьютере используется дополнительный код
.

Отметим, что максимальное положительное число, которое можно записать в знаковом представлении в k разрядах, равно 2 k-1 — 1

, что практически в два раза меньше максимального числа в беззнаковом представлении в тех же k разрядах.

Вопрос 1
. Можно ли в 8-ми разрядной ячейки представить со знаком число 200?

Вопросы.

  1. Обоснуйте целесообразность представления особым образом в компьютере целых чисел.
  2. Приведите пример умножения в ограниченном числе разрядов двух положительных чисел, в результате которого получается отрицательное число.
  3. Перечислите и объясните все ошибки, которые могут возникать при выполнении арифметических операций над целыми числами в компьютерной арифметике в ограниченном числе разрядов.
  4. Покажите, каким образом использование дополнительного кода позволяет заменить операцию вычитания операцией сложения.
  5. В восьмиразрядной ячейке запишите дополнительные коды следующих двоичных чисел: а) -1010; б) -1001; в) -11; г) -11011.
  6. Можно ли по виду дополнительного кода числа сказать, четно оно или нечетно?
  7. Найдите десятичные эквиваленты отрицательных чисел, записанных в дополнительном коде: а) 11000100; б) 11111001.
  8. Какие из чисел 43 16 , 101010 2 , 129 10 и -135 10 можно сохранить в одном байте (в 8 разрядах)?
  9. Получите 16-разрядное представление следующих чисел: а) 25; б) -610.
  10. Для чисел А = 1110 2 , В = 1101 2 выполните следующие операции: А + В; А — В; В — А; -А — А; -В — В; -А — В (в восьмиразрядном знаковом представлении).

Вопросы.

1. Запишите следующие десятичные числа в нормализованном виде:

а) 217,934; в) 10,0101; б) 75321; г) 0,00200450.

2. Приведите к нормализованному виду следующие числа, используя в качестве Р основания их систем счисления:

а) -0,000001011101 2 ;

б) 98765432Ю 10 ;

в) 123456789,ABCD 16 .

3. Сравните следующие числа:

а) 318,4785 × 10 9 и 3,184785 × 10 11 ;

б) 218,4785 × 10 -3 и 21847,85 × 10 -4 ;

в) 0,1101 2 × 2 2 и 101 2 × 2 -2 .

4. Сравните диапазон представления чисел с плавающей за­пятой в 32-разрядном формате (24 разряда для мантиссы и 6 разрядов для модуля порядка) с диапазоном представления чисел с фиксированной запятой в том же формате.

5. Каковы преимущества компьютерного представления чисел с плавающей запятой по сравнению с их представлением с фиксированной запятой, которое мы чаще всего используем в повседневной жизни?

6. Произведите следующие арифметические действия над десятичными нормализованными числами согласно праилам вещественной компьютерной арифметики (в мантиссе должно быть сохранено 6 значащих цифр):

а) 0,397621 х 10 3 + 0,237900 х 10 1 ;

б) 0,982563 х 10 2 — 0,745623 х 10 2 ;

в) 0,235001 х 10 2 0,850000 х 10 3 ;

г) 0,117800 х Ю 2: 0,235600 х 10 3 .

При выполнении этого задания следует нормализовать мантиссу результата соответствующего арифметического действия, а затем округлить ее

7. Выполните действие над машинными кодами чисел с плавающей запятой в 32-разрядном формате: X =А + В, где А = 125,75 и В = -50.

8. Перечислите и объясните все ошибки, которые могут возникать при арифметических операциях с нормализованными числами в ограниченном числе разрядов.

Квантование цвета.

Как было сказано выше, графическую информацию естественного происхождения при вводе в компьютер необходимо подвергать операциям пространственной дискретизации и квантования цвета

Квантование (кодирование) цвета базируется на математическом описании цвета, которое, в свою очередь, опирается на тот факт, что цвета можно измерять и сравнивать. Научная дисциплина, изучающая вопросы измерения цветовых характеристик, называется метрологией цвета
, или колориметрией
. Человек обладает очень сложным цветовосприятием, достаточно заметить, что зрительные центры мозга у новорожденных детей в течение нескольких месяцев (!) только тренируются видеть. Поэтому и математическое описание цвета тоже весьма нетривиально.

Ученым долгое время не удавалось объяснить процесс цветовосприятия. До середины XVII века господствовала умозрительная теория Аристотеля, согласно которой все цвета образуются при подмешивании черного цвета к белому. Первые серьезные результаты в этой области получил Исаак Ньютон, который описал составную природу белого света и установил, что спектральные цвета являются неразложимыми и что путем смешения спектральных цветов можно синтезировать белый цвет и всевозможные оттенки других цветов. Ньютон выделил в спектре белого света семь наиболее заметных спектральных цветов и назвал их основными — красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Примерно полстолетия спустя, в 1756 году, выдающийся русский ученый М. В. Ломоносов сформулировал так называемую трехкомпонентную теорию цвета, обобщив огромный эмпирический материал, накопленный им при разработке технологии производства цветного стекла и мозаики. Исследуя вопросы окрашивания стекол, Ломоносов обнаружил, что для придания стеклу любого М. В. Ломоносов (1711-1765) цветового оттенка достаточно использовать всего три основные краски, смешивая их в определенных пропорциях. Спустя примерно столетие выдающийся немецкий ученый Герман Грассман (1809-1877) ввел в трехкомпонентную теорию цвета математический аппарат в форме законов Грассмана для аддитивного синтеза цвета. Наиболее важными из них являются следующие два закона.

Закон трехмерности: с помощью трех линейно независимых цветов можно однозначно выразить любой цвет. Цвета считаются линейно независимыми, если никакой из них нельзя получить путем смешения остальных.

Закон непрерывности: при непрерывном изменении состава цветовой смеси результирующий цвет также меняется непрерывно. К любому цвету можно подобрать бесконечно близкий цвет.

Трехкомпонентная теория цвета стала основой колориметрии, однако обоснование этой теории появилось только на рубеже XIX-XX веков, после того, как была изучена физиология органов зрения.

Колориметрические законы Грассмана устанавливают общие свойства математических моделей цвета. Фактически законы Грассмана постулируют, что любому цвету можно однозначным образом поставить в соответствие некоторую точку трехмерного пространства. Точки пространства, которые соответствуют цветам, воспринимаемым человеческим глазом, образуют в пространстве некоторое выпуклое тело. Абсолютно черному цвету всегда соответствует точка {0, 0, 0}. Таким образом, цвета можно рассматривать как точки или векторы в трехмерном цветовом пространстве. Каждая цветовая модель задает в нем некоторую систему координат, в которой основные цвета модели играют роль базисных векторов. А квантование цвета, по сути, является дискретизацией пространства цветов.

В компьютерной технике чаще всего используются следующие цветовые модели:

  • RGB (Red-Green-Blue, красный-зеленый-синий).
  • CMYK (Cyan-Magenta-Yellow-blacK, голубой-пурпурный-желтый-черный) .
  • HSB {Hue-Saturation-Brightness, цветовой оттенок-насыщенность-яркость).

Чтобы исключить неоднозначность трактования терминов «яркость», «насыщенность», «цветовой оттенок», поясним их.

Яркость
— это характеристика цвета, определение которой в основном совпадает с бытовым понятием яркости и физическим понятием освещенности или светимости. Ярко-красный, красный и темно-красный цвета различаются именно яркостью. С физической точки зрения, яркость — это количественная мера потока световой энергии, излучаемой или отражаемой предметом в сторону наблюдателя. Так, при ярком солнечном свете и в сумерках один и тот же цветной рисунок выглядит по-разному. При этом цветовые оттенки не меняются, различными оказываются лишь яркости цветов.

Цветовой оттенок

и насыщенность — это две другие независимые характеристики цвета. Пусть у нас есть набор красок разного цвета. Смешением различных красок между собой мы будем получать новые цвета. Например, смесь равного количества желтой и синей красок даст зеленую краску. Цветовой оттенок, или цветовой тон рассматриваемого объекта связан со спектральным составом излучения. По цветовому тону объекта мы можем судить об окраске объекта — синей, зеленой, красной и т. д. Отдельные участки видимого спектра вызывают ощущение различных цветов.

Насыщенность
характеризует степень «разбавления» цветового тона белым цветом. Например, если ярко- красную (насыщенную) краску разбавить белой, то ее цветовой оттенок останется прежним, изменится только насыщенность. Ровно так же коричневый цвет, желтый и лимонный имеют один и тот же цветовой оттенок — желтый, их различие заключается в насыщенности цветового оттенка. Наибольшей насыщенностью обладает свет от монохромного источника.

Отметим, что для белого и черного цветов насыщенность составляет 0%, т. е. эти цвета не обладают насыщенностью. Именно поэтому, подмешивая их к цветной краске, мы меняем ее насыщенность, а не оттенок.

Цветовая модель RGB.

В модели RGB основными цветами являются красный, зеленый
и синий
. Данная модель используется в основном при отображении графических изображений на экране монитора, телевизора, сотового телефона и т. д. Смешением трех основных цветов синтезируются все остальные цвета, их условные яркости (интенсивности) задаются вещественными числами от 0 до 1 (значение 1 соответствует максимальной яркости соответствующего цвета, которую может изобразить графическое устройство). Модель RGB определяет пространство цветов в виде единичного куба с осями «яркость красной компоненты», «яркость зеленой компоненты» и «яркость синей компоненты».

Характерные особенности RGB-модели

Любая точка куба (r, g, b

) определяет некоторый цвет.

Точка (0, 0, 0) соответствует черному цвету, точка (1, 1, 1) — белому, а линия (0, 0, 0) — (1, 1, 1) описывает все градации серого цвета: от черного до белого.

При движении по прямой от (0, 0, 0) через точку (r, g, b
) получаем все градации яркости цвета (r, g, b
), от самой темной до самой яркой. Например, (1/4, 1/4, 0) — темно- коричневый цвет, (1/2, 1/2, 0) — коричневый, (3/4, 3/4, 0) — желто-коричневый, (1, 1, 0) — желтый.

На гранях куба {r

= 0}, {g

= 0} и {b

= 0} расположены самые насыщенные цвета.

Чем ближе точка к главной диагонали (0, 0, 0)-(1, 1, 1), тем менее насыщен соответствующий цвет.

У цветовой модели RGB есть физиологическое обоснование. Человеческий глаз содержит четыре типа зрительных рецепторов: «палочки» (рецепторы интенсивности) и

три типа «колбочек» (рецепторы цветовых оттенков). Колбочки каждого типа чувствительны к свету в своем узком диапазоне длин волн, для колбочек разных типов максимумы чувствительности приходятся на разные длины волн, диапазоны чувствительности частично перекрываются:

Именно благодаря неравномерной спектральной чувствительности и перекрытию диапазонов чувствительности человеческий глаз способен различать огромное количество цветов (около 10 млн).

Если направить в глаз составной световой сигнал с правильно подобранным соотношением яркостей красного, зеленого и синего цветов, то зрительные центры мозга не смогут отличить подмену и сделают вывод, что наблюдается нужный цвет! Такой механизм синтеза цветовых оттенков используется во всех современных типах цветных мониторов, телевизоров, дисплеев сотовых телефонов.

Чтобы использовать математическую RGB-модель для реального компьютерного представления графической информации, необходимо произвести квантование цветового пространства, т. е. найти способ представлять вещественные значения яркостей цветовых компонент в дискретной форме

Наиболее простой способ добиться этого — перевести вещественные числа из интервала }

Представление вещественных чисел в памяти компьютера примеры

Рассматриваемая тема не обязательно связана с объединением, она представляет также самостоятельный интерес. Здесь этот материал нужен для понимания некоторых примеров этого и последующих параграфов.

Вещественное число (число с плавающей запятой) состоит из двух частей: мантиссы и порядка. Например, число в десятичной системе счисления 0,000123 можно записать одним из следующих способов: 0.0000123*10; 0,123*10 -3 ; 1,23*10 -4 и т.д. Аналогично 78900=0,789*10 5 =78,9*10 3 и т.д. Термин “число с плавающей запятой” и связан с тем, что десятичная запятая перемещается (плывёт) по числу. Из такого рода различных записей в десятичной системе счисления нас будет интересовать нормализованное число, соответственно 0,123*10 -3 и 0,789*10 5 . Первая его часть называется мантиссой (0,123 и 0,789), а числа -3 и 5 – порядком.

Аналогично различные варианты записи (на бумаге, а не в памяти компьютера) вещественного числа имеют место и в двоичной системе счисления. Например, рассмотрим десятичное число 12,375. Для его перевода в двоичную систему счисления отдельно переводим целую часть (см. гл. 4 файла Lections1Semestr) и отдельно дробную часть. В качестве вспомогательной системы счисления можно использовать шестнадцатеричную. Для перевода дробной части из 10 с.с в 16 с.с выполняем следующее:

дробную часть числа умножаем на 16;

полученную целую часть результата (число от 0 до 15) переводим в 16-ю с.с и берём в качестве первой после запятой 16-й цифры результата;

дробную часть результата, если она не равна нулю, повторно умножаем на 16;

полученную целую часть переводим в 16-ю с.с и берём в качестве следующей 16-й цифры;

дробную часть результата снова умножаем на 16;

это продолжаем, пока не наступит одна из следующих ситуаций:

a) на некотором шаге, не обязательно в самом начале, получим в дробной части нуль. В этом случае перевод выполнили точно. Это имеет место в нашем примере: 0,375*16=6.0;

b) получим в дробной части число, которое было раньше. Например, 0,15*16=2,4; 0,4*16=6,4. Если продолжать умножение 0,4*16, будем получать одно и то же, т. е 6,4. В таком случае получаем следующий результат: 0,1510= 0,2666…16=0,2(6)16. Круглые скобки означают, что записанное в них одно или несколько разных чисел будут повторяться бесконечное число раз. Говорят, что это число в периоде, т.е. 6 в периоде;

c) если не получаем ни нуль, ни повторяющиеся числа, то ограничиваемся заданным предварительно количеством двоичных или шестнадцатеричных цифр. Для числа типа float необходимо получить 24 двоичные цифры, считая от первой значащей, или не менее 7 шестнадцатеричных цифр, не считая первые 16-е нули.

Для перевода дробной части из 16-й в 2-ю с.с. записываем каждую 16-ю (но не 10-ю!) цифру в виде тетрады, т.е. четырёх двоичных цифр. Получим 12.37510=С.616=1100,0110. При этом последнюю цифру ‘0’ можем не писать. Как и в 10-й с.с., этот нуль незначащий. Остальные нули рядом с десятичной запятой обязательны!

Это двоичное число, как и в 10-й с.с., записать можно по-разному: 11,00011*2 2 ; 1100011*2 -3 ; 1.100011*2 3 . Из приведенных вариантов нас будет интересовать последняя нормализованная запись, в которой в целой части записана одна первая значащая единица. Получим: m= памяти не хранится, но 1.100011; p=310=112, где m —нормализованная мантисса, p — порядок в 2 с.с.

Пусть число объявлено как float. Тогда 4 байта (32 бита) распределяются следующим образом:

один самый “левый” бит отводится под знак мантиссы, или, что то же самое, под знак всего числа. Записывается 0, если мантисса, а, значит и само вещественное число, положительное, и 1 в противном случае. Никакого дополнительного кода для отрицательного вещественного числа, как это было для целых чисел, получать не надо;

следующие 8 разрядов (бит) занимает изменённый порядок записи числа в 2-й с.с., который называется характеристикой числа. Обозначим её x. Знак порядка нигде не хранится. Чтобы он всегда был неотрицательным, порядок увеличивается на 12710, т. е. x=p+12710=p+7F16. (1)

Для нашего примера здесь будет храниться число x=310+12710= 13010=8216=100000102. Это же можно вычислить и так: x=316+7F16=8216 =100000102 ;

последние 23 (32-1-8) разряда занимает мантисса. При этом целая её часть, равная 1, в памяти не хранится, но учитывается при вычислениях. Если дробная часть числа переведена в 16-ю, а, значит и в двоичную с.с не точно, т. е. имели место варианты b) и c) (см. выше перевод), последняя 2-я цифра округляется по обычным правилам. Если первая отбрасываемая 2-я цифра равна 1, то прибавляем двоичную единицу, в противном случае оставляем без изменения.

Таким образом, число 12,375 в формате float будет представлено следующим образом: 01000001010001100000000000000000. Иногда в литературе можно встретить шестнадцатеричную запись этого результата: 4146000016.

Упражнение. Представить число -0.01 как число с плавающей точкой в формате float.

Переводим модуль числа в шестнадцатеричную, а затем в двоичную системы счисления описанным выше способом:

Так как под мантиссу отводится 23 разряда, то должны получить 25 двоичных цифр, не считая первых после десятичной точки подряд идущих нулей. Почему? По правилу нормализации самая первая значащая единица (в примере в десятичной цифре 2) в память не записывается, а ещё одна дополнительная двоичная цифра нужна для того, чтобы определить, как округлять число. Так как первая отбрасываемая двоичная цифра =0, то получаем

Если число “маленькое”, т.е. целая часть =0, а в дробной части после запятой несколько подряд идущих нулей, то получим отрицательный порядок. Так как 0.0000001010001111010111000010102 = 1.01000111101011100001010*2 -7 ,

В результате получим ответ: 10111100001000111101011100001010.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть в ячейке размером 4 байта хранится следующая последовательность нулей и единиц, шестнадцатеричное представление которой такое: С215999A16. Известно, что здесь хранится вещественное число, т.е. в программе записано, например, объявление: float a. Что это за число в 10-й системе счисления?

Для ответа на этот вопрос в обратном порядке выполняем действия, описанные выше.

1) Запишем двоичное представление числа: 11000010000101011001100110011010.

2) Единица в старшем бите (самая “левая”) означает, что всё вещественное число отрицательное.

3) В следующих 8 битах находится характеристика числа, т.е. x=100001002=8416. Из формулы (1) получаем двоичный порядок числа: p=x-7F16=8416-7F16 =516=510.

4) Из последних 23 разрядов получаем m=0.001010110011001100110102.

5) Поэтому искомое число

a=1.00101011001100110011010*2 5 =100101.0110011001100110102@25.(6) 16@37.410.

Перевод дробной части выполняли следующим образом:

0.(6) 16 = 0.6666616 = 6*16 -1 +6*16 -2 +6*16 -3 +6*16 -4 +6*16 -5 @0.410.

Т.к. это отрицательное число, то получаем ответ: – 37.410

5.2. Объявление объединения.(+)

Объявление типа объединения, которые ещё называют смеси, похоже на объявление структурного типа. Только вместо ключевого слова struct используется union. Как и для структурной переменной, возможны три способа объявления переменной типа объединения: раздельное, совместное и анонимное (см. 1.1).

Для изучения объединения сначала рассмотрим следующий код для работы со структурой.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9122 – | 7290 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ключевые слова:

• разряд
• беззнаковое представление целых чисел
• представление целых чисел со знаком
• представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1. Число 5310 = 1101012 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.

В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 • 10 8 , 47,2 • 10 7 , 472,0 • 10 6 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 • 10 9 .

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 11111112 = 12710, и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 • 10 1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

где:

m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 6310 в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;
б) 00010101.

6. Какие из чисел 4438, 1010102, 25610 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 • 10 2 ;
б) 0,245 • 10 -3 ;
в) 1,256900Е+5;
г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,010210 пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Электронное приложение к уроку

Презентации, плакаты, текстовые файлыВернуться к материалам урокаРесурсы ЭОР

Cкачать материалы урока

4.2.1. Форматы хранения вещественных чисел

Вещественные числа в математических вычислениях не имеют ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Поэтому точность представления вещественных чисел, представимых в машине, является конечной, а диапазон ограничен.

При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Любое вещественное число можно представить в форме записи чисел с порядком основания системы счисления.

Пример 4.4. Десятичное число 1.756 в форме записи чисел с порядком основания системы счисления можно представить так:

1.756 . 10 0 = 0.1756 . 10 1 = 0.01756 . 10 2 = .

17.56 . 10 -1 = 175.6 . 10 -2 = 1756.0 . 10 -3 = . .

Представлением числа с плавающей точкой называется представление числа N в системе счисления с основанием q в виде:

где m – множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), p – целое число, называемое порядком.

Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине.

Если в мантиссе первая цифра после точки (запятой) отлична от нуля, то такое число называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.

Пример 4.5. Приведем примеры нормализованного представления числа в десятичной системе:

2178.01 =0.217801 * 10 4

0.0045 =0.45 * 10 -2

Примеры в двоичной системе:

10110.01= 0.1011001 * 2 101 (порядок 1012=510)

Современными компьютерами поддерживаются несколько международных стандартных форматов хранения вещественных чисел с плавающей точкой, различающихся по точности, но все они имеют одинаковую структуру. Вещественное число хранится в трех частях: знак мантиссы, смещенный порядок и мантисса:

Смещенный порядок n-разрядного нормализованного числа вычисляется следующим образом: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2 k -1 —1).

Таким образом, порядок, принимающий значения в диапазоне от -128 до +127, преобразуется в смещенный порядок в диапазоне от 0 до 255. Смещенный порядок хранится в виде беззнакового числа, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Количество разрядов, отводимых под порядок, влияет на диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате. Очевидно, что чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. В связи с тем, что у нормализованных вещественных чисел старший бит мантиссы всегда равен 1, этот старший бит не хранится в памяти.

Любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

Таблица 4.3. Стандартные форматы представления вещественных чисел

Кол-во битов, отводимых под смещенный порядок

Кол-во битов, отводимых под мантиссу

32-разрядное нормализованное число со знаком

Представление чисел с плавающей запятой в компьютере. Формат представления чисел с плавающей запятой

| Планирование уроков на учебный год (ФГОС)
| § 1.2. Представление чисел в компьютере

Ключевые слова:

Разряд

беззнаковое представление целых чисел

представление целых чисел со знаком

представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1
. Число 53 10 = 110101 2 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.

В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;

p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 10 8 , 47,2 10 7 , 472,0 10 6 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 10 9 .

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 10 1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

где:

m — мантисса числа;

q — основание системы счисления;

p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 63 10 в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;

б) 00010101.

6. Какие из чисел 443 8 , 101010 2 , 256 10 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 10 2 ;

б) 0,245 10 -3 ;

в) 1,256900Е+5;

г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102 10 пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

а) 217,934 10 ;

б) 75321 10 ;

в) 0,00101 10 .

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Если
бы мы могли заглянуть в содержание компьютерной памяти, то мы бы увидели
следующее:

Данный
рисунок отражает Правило №1:
Данные (и программы) в памяти компьютера
хранятся в двоичном виде, т.е. в виде цепочек ноликов и единичек.

Правило
№2:

представление данных в
компьютере дискретно.

Что
такое дискретность?

Самый
близкий ответ: «Отдельный»

Примечание: Дискретное множество состоит из отделенных друг
от друга элементов. Например, песок дискретен, поскольку он состоит из
отдельных песчинок. А вода или масло непрерывны (в рамках наших ощущений,
поскольку отдельные молекулы мы все равно ощутить не можем)

Например, изображение строится в виде совокупности точек,
т.е. дискретно.

Правило
№3:

множество представимых в памяти
величин ограничено и конечно.

Представление чисел в компьютере.

Целые числа в компьютере. (Формат с фиксированной запятой)

Любое
вычислительное устройство (компьютер, калькулятор) может работать только с
ограниченным множеством целых чисел. Посмотрите на табло калькулятора, на нем
помещается 10 знаков. Самое большое положительное число, которое помещается на
табло:

Самое большое по абсолютной величине
отрицательное число:

Аналогично
дело обстоит и в компьютере.

Например,
если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 битов, то самое
большое положительное число будет таким:

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

В
десятичной системе счисления оно равно:

2 15 -1=32767

Здесь
первый бит играет роль знака числа. Ноль — признак положительного числа. Самое
большое по модулю отрицательное число равно -32768.

Как
получить его внутреннее представление:

1)

перевести число в 32768 в двоичную систему счисления,
он равно
1000000000000000 — получили прямой
код.

2)
инвертировать этот двойчный код, т.е. заменить нули
на единицы, а единицы на нули — получили обратный код
.

0111111111111111

3)

Прибавить единицу к этому двоичному числу, в
результате получим:

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Единица
в первом бите обозначает знак «минус».

(не нужно думать, что полученный код —
это «минус ноль». Этот код представляет число

-32768.)

Таковы правила машинного
представления целых чисел. Данное внутреннее представление числа называется дополнительным
кодом
.

Если под целое число в
памяти компьютера отводится N бит, то диапазон значений целых чисел: [-2 N-1 -1,
2 N -1]

Мы
рассмотрели формат представления целых чисел со знаком, т.е. положительных и
отрицательных. Бывает, что нужно работать только с положительными целыми
числами. В таком случае используется формат представления целых чисел без
знака.

В
этом формате самое маленькое число — ноль, а самое большое число для
16-разрядной ячейки:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

В
десятичной системе счисления это 2 16 — 1 = 65535, в два раза больше
по модулю, чем в представлении со знаком.

Целые числа в компьютере. (Формат с плавающей запятой)

Самое
большое число у разных калькуляторов может оказаться разным. У самого простого
калькулятора — 999999999. Если прибавить к нему еще единицу, то калькулятор
выдаст сообщение об ошибке. А на более «умном» калькуляторе прибавление единицы
приведет к такому результату:

Данную
запись на табло понимают так: 1 x10 9 .

Такой
формат записи числа называется форматом с плавающей запятой
.

1

е

+

0

9

мантисса

порядок числа

В
компьютере числа могу и представляться как в формате с фиксированной запятой
так и в формате с плавающей запятой.

Любому, кто хоть раз задумывался в жизни о том, чтобы стать «айтишником» или системным администратором, да и просто связать судьбу с знание о том, как происходит представление чисел в абсолютно необходимо. Ведь именно на этом основываются языки программирования низкого уровня, такие как Assembler. Поэтому сегодня мы рассмотрим представление чисел в компьютере и их размещение в ячейках памяти.

Система счисления

Если вы читаете данную статью, то, скорее всего, уже знаете об этом, но повторить стоит. Все данные в персональном компьютере хранятся в двоичной Это означает, что любое число необходимо представить в соответствующей форме, то есть состоящим из нулей и единиц.

Чтобы перевести привычные для нас десятичные числа к виду, понятному компьютеру, нужно воспользоваться описанным ниже алгоритмом. Существуют и специализированные калькуляторы.

Итак, для того чтобы перевести число в двоичную систему счисления, нужно взять выбранное нами значение и поделить его на 2. После этого мы получим результат и остаток (0 или 1). Результат опять делим 2 и запоминаем остаток. Данную процедуру нужно повторять до тех пор, пока в итоге также не окажется 0 или 1. Затем записываем конечное значение и остатки в обратном порядке, как мы их получали.

Именно так и происходит представление чисел в компьютере. Любое число записывается в двоичной форме, а потом занимает ячейку памяти.

Память

Как вам должно быть уже известно, минимальная единица измерения информации составляет 1 бит. Как мы уже выяснили, представление чисел в компьютере происходит в двоичном формате. Таким образом, каждый бит памяти будет занят одним значением — 1 или 0.

Для хранения используются ячейки. Каждая такая единица содержит до 8 бит информации. Поэтому можно сделать вывод, что минимальное значение в каждом отрезке памяти может составлять 1 байт или быть восьмизначным двоичным числом.

Целые

Наконец мы подобрались к непосредственному размещению данных в компьютере. Как было уже сказано, первым делом процессор переводит информацию в двоичный формат, а только затем размещает в памяти.

Начнем мы с самого простого варианта, коим является представление целых чисел в компьютере. Память ПК отводит под этот процесс до смешного малое количество ячеек — всего одну. Таким образом, максимум в одном слоте могут быть значения от 0 до 11111111. Давайте переведём максимальное число в привычную нам форму записи.
Х = 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 2 8 — 1 = 255.

Теперь мы видим, что в одной ячейке памяти может располагаться значение от 0 до 255. Однако это относится исключительно к целым неотрицательным числам. Если же компьютеру понадобится записать отрицательное значение, всё пройдет немного по-другому.

Отрицательные числа

Теперь давайте посмотрим, как происходит представление чисел в компьютере, если они являются отрицательными. Для размещения значения, которое меньше нуля, отводится две ячейки памяти, или 16 бит информации. При этом 15 уходят под само число, а первый (крайний левый) бит отдается под соответствующий знак.

Если цифра отрицательная, то записывается «1», если положительная, то «0». Для простоты запоминания можно провести такую аналогию: если знак есть, то ставим 1, если его нет, то ничего (0).

Оставшиеся 15 бит информации отводятся под число. Аналогично предыдущему случаю, в них можно поместить максимум пятнадцать единиц. Стоит отметить, что запись отрицательных и положительных чисел существенно отличается друг от друга.

Для того чтобы разместить в 2 ячейках памяти значение больше нуля или равное ему, используется так называемый прямой код. Данная операция производится так же, как и было описано, а максимальное А = 32766, если использовать Сразу хочется отметить, что в данном случае «0» относится к положительным.

Примеры

Представление целых чисел в памяти компьютера не является такой уж трудной задачей. Хотя она немного усложняется, если речь идет об отрицательном значении. Для записи числа, которое меньше нуля, используется дополнительный код.

Чтобы его получить, машина производит ряд вспомогательных операций.

  1. Сначала записывается модуль отрицательного числа в двоичном счислении. То есть компьютер запоминает аналогичное, но положительное значение.
  2. Затем проводится инвертирование каждого бита памяти. Для этого все единицы заменяются нулями и наоборот.
  3. Прибавляем «1» к полученному результату. Это и будет дополнительный код.

Приведем наглядный пример. Пусть у нас есть число Х = — 131. Сначала получаем его модуль |Х|= 131. Затем переводим в двоичную систему и записываем в 16 ячеек. Получим Х = 0000000010000011. После инвертирования Х=1111111101111100. Добавляем к нему «1» и получаем обратный код Х=1111111101111101. Для записи в 16-битную ячейку памяти минимальным числом является Х = — (2 15) = — 32767.

Длинные целые

Как видите, представление вещественных чисел в компьютере не так уж и сложно. Однако рассмотренного диапазона может не хватать для большинства операций. Поэтому, для того чтобы разместить большие числа, компьютер выделяет из памяти 4 ячейки, или 32 бита.

Процесс записи абсолютно не отличается от представленного выше. Так что мы просто приведем диапазон чисел, которые могут храниться в данном типе.

Х мах =2 147 483 647.

Х min =- 2 147 483 648.

Данных значений в большинстве случаев достаточно для того, чтобы записывать и проводить операции с данными.

Представление вещественных чисел в компьютере имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, данная методика позволяет проще производить операции между целочисленными значениями, что значительно ускоряет работу процессора. С другой стороны, данного диапазона недостаточно для решения большинства задач экономики, физики, арифметики и других наук. Поэтому теперь мы рассмотрим очередную методику для сверхвеличин.

Плавающая запятая

Это последнее, что вам необходимо знать про представление чисел в компьютере. Поскольку при записи дробей возникает проблема определения положения запятой в них, для размещения подобных цифр в компьютере используется экспоненциальная форма.

Любое число может быть представлено в следующей форме Х = m * р п. Где m — это мантисса числа, р — основание системы счисления и п — порядок числа.

Для стандартизации записи чисел с плавающей запятой используется следующее условие, согласно которому модуль мантиссы должен быть больше или равен 1/п и меньше 1.

Пусть нам дано число 666,66. Приведём его к экспоненциальной форме. Получится Х = 0,66666 * 10 3 . Р = 10 и п = 3.

На хранение значений с плавающей запятой обычно выделяется 4 или 8 байт (32 или 64 бита). В первом случае это называется числом обычной точности, а во втором — двойной точности.

Из 4 байт, выделенных под хранение цифр, 1 (8 разрядов) отдается под данные о порядке и его знаке, а 3 байта (24 разряда) уходят на хранение мантиссы и её знака по тем же принципам, что и для целочисленных значений. Зная это, мы можем провести нехитрые расчеты.

Максимальное значение п = 1111111 2 = 127 10 . Исходя из него, мы можем получить максимальный размер числа, которое может храниться в памяти компьютера. Х=2 127 . Теперь мы можем вычислить максимально возможную мантиссу. Она будет равна 2 23 — 1 ≥ 2 23 = 2 (10 × 2,3) ≥ 1000 2,3 = 10 (3 × 2,3) ≥ 10 7 . В итоге, мы получили приближенное значение.

Если теперь мы объединим оба расчета, то получим значение, которое может быть записано без потерь в 4 байта памяти. Оно будет равно Х = 1,701411 * 10 38 . Остальные цифры были отброшены, поскольку именно такую точность позволяет иметь данный способ записи.

Двойная точность

Поскольку все вычисления были расписаны и объяснены в предыдущем пункте, здесь мы расскажем всё очень коротко. Для чисел с двойной точностью обычно выделяется 11 разрядов для порядка и его знака, а также 53 разряда для мантиссы.

П = 1111111111 2 = 1023 10 .

М = 2 52 -1 = 2 (10*5.2) = 1000 5.2 = 10 15.6 . Округляем в большую сторону и получаем максимальное число Х = 2 1023 с точностью до «м».

Надеемся, информация про представление целых и вещественных чисел в компьютере, которую мы предоставили, пригодится вам в обучении и будет хоть немного понятнее, чем то, что обычно пишут в учебниках.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно

целых неотрицательных чисел
. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно

А = 1 ×
2 7 + 1 ×
2 6 + 1 ×
2 5 + 1 ×
2 4 + 1 ×
2 3 + 1 ×
2 2 + 1 ×
2 1 + 1 ×
2 0 = 1 ×
2 8 — 1 = 255 10 .

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел
чисел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком
отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом
числа. Например, число 2002 10 = 11111010010 2 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

0000011111010010

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно:

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код
. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен 2 n — |A|.

Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа А до 0, так как в n-разрядной компьютерной арифметике:

2 n — |А| + |А| = 0,

поскольку в компьютерной n-разрядной арифметике 2 n = 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только n младших разрядов, то есть n нулей.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

1. Модуль числа записать в прямом коде
в n двоичных разрядах.

2. Получить обратный код
числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

3. К полученному обратному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа -2002 для 16-разрядного компьютерного представления:

При n-разрядном представлении отрицательного числа А в дополнительным коде старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число

Чтобы число было положительным, должно выполняться условие

|А| £
2 n-1 .

Следовательно, максимальное значение модуля числа А в га-разрядном представлении равно:

Тогда минимальное отрицательное число равно:

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком
(для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти — 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

А = 2 31 — 1 = 2 147 483 647 10 .

Минимальное отрицательное целое число равно:

А = -2 31 = — 2 147 483 648 10 .

Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой
являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций.

Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой
является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой.
Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой
. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой
базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число. Так число А может быть представлено в виде:

где m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
n — порядок числа.

Для единообразия представления чисел с плавающей запятой
используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n £
|m|

Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Преобразуем десятичное число 555,55, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой:

555,55 = 0,55555 ×
10 3 .

Здесь нормализованная мантисса: m = 0,55555, порядок: n = 3.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности
) или 8 байтов (число двойной точности
). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Определим максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности
, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака — 24 разряда:

011111110111111111111111
знак и порядокзнак и мантисса

Максимальное значение порядка числа составит 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа составит:

2 127 = 1,7014118346046923173168730371588 ×
10 38 .

Максимальное значение положительной мантиссы равно:

2 23 — 1 »
2 23 = 2 (10 ×
2,3) »
1000 2,3 = 10 (3 ×
2,3) »
10 7 .

Таким образом максимальное значение чисел обычной точности
с учетом возможной точности вычислений составит 1,701411 ×
10 38 (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

Задания

1.26. Заполнить таблицу, записав отрицательные десятичные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах в 16-разрядном представлении:

1.27. Определить диапазон представления целых чисел со знаком
(отводится 2 байта памяти) в формате с фиксированной запятой.

1.28. Определить максимальное число и его точность для формата чисел двойной точности
, если для хранения порядка и его знака отводится 11 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака — 53 разряда.

Назначение сервиса
. Онлайн-калькулятор предназначен для представления вещественных чисел в формат с плавающей точкой.

Правила ввода чисел
  1. Числа в десятичной системе счисления могут вводиться как без дробной, так и с дробной частью (234234.455).
  2. Числа в двоичной системе счисления состоят только из цифр 0 и 1 (10100.01).
  3. Числа в шестнадцатеричной системе счисления состоят из цифр 0 … 9 и букв A … F .
  4. Можно также получать обратное представление кода (из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, 40B00000)

Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.

Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3

Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.

Решение
.

Представление двоичного числа с плавающей точкой в экспоненциальном нормализованном виде
.

Сдвинем число на 2 разрядов вправо. В результате мы получили основные составляющие экспоненциального нормализованного двоичного числа:
Мантисса M=1.011
Экспонента exp 2 =2
Преобразование двоичного нормализованного числа в 32 битный формат IEEE 754
.
Первый бит отводится для обозначения знака числа. Поскольку число положительное, то первый бит равен 0
Следующие 8 бит (с 2-го по 9-й) отведены под экспоненту.
Для определения знака экспоненты, чтобы не вводить ещё один бит знака, добавляют смещение к экспоненте в половину байта +127. Таким образом, наша экспонента: 2 + 127 = 129
Переведем экспоненту в двоичное представление.
Оставшиеся 23 бита отводят для мантиссы. У нормализованной двоичной мантиссы первый бит всегда равен 1, так как число лежит в диапазоне 1 ≤ M Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
01100000000000000000000 = 2 22 *0 + 2 21 *1 + 2 20 *1 + 2 19 *0 + 2 18 *0 + 2 17 *0 + 2 16 *0 + 2 15 *0 + 2 14 *0 + 2 13 *0 + 2 12 *0 + 2 11 *0 + 2 10 *0 + 2 9 *0 + 2 8 *0 + 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 0 + 2097152 + 1048576 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3145728
В десятичном коде мантисса выражается числом 3145728
В результате число 101.10 представленное в IEEE 754 c одинарной точностью равно.
Переведем в шестнадцатеричное представление.
Разделим исходный код на группы по 4 разряда.
2 = 0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2
Получаем число:
0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2 = 40B00000 16

Рекомендуем также

Как компьютер определяет десятичные числа. Представление чисел в компьютере

Если
бы мы могли заглянуть в содержание компьютерной памяти, то мы бы увидели
следующее:

Данный
рисунок отражает Правило №1:
Данные (и программы) в памяти компьютера
хранятся в двоичном виде, т.е. в виде цепочек ноликов и единичек.

Правило
№2:

представление данных в
компьютере дискретно.

Что
такое дискретность?

Самый
близкий ответ: «Отдельный»

Примечание: Дискретное множество состоит из отделенных друг
от друга элементов. Например, песок дискретен, поскольку он состоит из
отдельных песчинок. А вода или масло непрерывны (в рамках наших ощущений,
поскольку отдельные молекулы мы все равно ощутить не можем)

Например, изображение строится в виде совокупности точек,
т.е. дискретно.

Правило
№3:

множество представимых в памяти
величин ограничено и конечно.

Представление чисел в компьютере.

Целые числа в компьютере. (Формат с фиксированной запятой)

Любое
вычислительное устройство (компьютер, калькулятор) может работать только с
ограниченным множеством целых чисел. Посмотрите на табло калькулятора, на нем
помещается 10 знаков. Самое большое положительное число, которое помещается на
табло:

Самое большое по абсолютной величине
отрицательное число:

Аналогично
дело обстоит и в компьютере.

Например,
если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 битов, то самое
большое положительное число будет таким:

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

В
десятичной системе счисления оно равно:

2 15 -1=32767

Здесь
первый бит играет роль знака числа. Ноль — признак положительного числа. Самое
большое по модулю отрицательное число равно -32768.

Как
получить его внутреннее представление:

1)

перевести число в 32768 в двоичную систему счисления,
он равно
1000000000000000 — получили прямой
код.

2)
инвертировать этот двойчный код, т.е. заменить нули
на единицы, а единицы на нули — получили обратный код
.

0111111111111111

3)

Прибавить единицу к этому двоичному числу, в
результате получим:

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Единица
в первом бите обозначает знак «минус».

(не нужно думать, что полученный код —
это «минус ноль». Этот код представляет число

-32768.)

Таковы правила машинного
представления целых чисел. Данное внутреннее представление числа называется дополнительным
кодом
.

Если под целое число в
памяти компьютера отводится N бит, то диапазон значений целых чисел: [-2 N-1 -1,
2 N -1]

Мы
рассмотрели формат представления целых чисел со знаком, т.е. положительных и
отрицательных. Бывает, что нужно работать только с положительными целыми
числами. В таком случае используется формат представления целых чисел без
знака.

В
этом формате самое маленькое число — ноль, а самое большое число для
16-разрядной ячейки:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

В
десятичной системе счисления это 2 16 — 1 = 65535, в два раза больше
по модулю, чем в представлении со знаком.

Целые числа в компьютере. (Формат с плавающей запятой)

Самое
большое число у разных калькуляторов может оказаться разным. У самого простого
калькулятора — 999999999. Если прибавить к нему еще единицу, то калькулятор
выдаст сообщение об ошибке. А на более «умном» калькуляторе прибавление единицы
приведет к такому результату:

Данную
запись на табло понимают так: 1 x10 9 .

Такой
формат записи числа называется форматом с плавающей запятой
.

1

е

+

0

9

мантисса

порядок числа

В
компьютере числа могу и представляться как в формате с фиксированной запятой
так и в формате с плавающей запятой.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно

целых неотрицательных чисел
. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно

А = 1 ×
2 7 + 1 ×
2 6 + 1 ×
2 5 + 1 ×
2 4 + 1 ×
2 3 + 1 ×
2 2 + 1 ×
2 1 + 1 ×
2 0 = 1 ×
2 8 — 1 = 255 10 .

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел
чисел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком
отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом
числа. Например, число 2002 10 = 11111010010 2 будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом:

0000011111010010

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) для целых чисел со знаком в n-разрядном представлении равно:

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код
. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен 2 n — |A|.

Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа А до 0, так как в n-разрядной компьютерной арифметике:

2 n — |А| + |А| = 0,

поскольку в компьютерной n-разрядной арифметике 2 n = 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только n младших разрядов, то есть n нулей.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

1. Модуль числа записать в прямом коде
в n двоичных разрядах.

2. Получить обратный код
числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).

3. К полученному обратному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа -2002 для 16-разрядного компьютерного представления:

При n-разрядном представлении отрицательного числа А в дополнительным коде старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число

Чтобы число было положительным, должно выполняться условие

|А| £
2 n-1 .

Следовательно, максимальное значение модуля числа А в га-разрядном представлении равно:

Тогда минимальное отрицательное число равно:

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком
(для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти — 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

А = 2 31 — 1 = 2 147 483 647 10 .

Минимальное отрицательное целое число равно:

А = -2 31 = — 2 147 483 648 10 .

Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой
являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций.

Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой
является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой.
Вещественные числа хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой
. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой
базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число. Так число А может быть представлено в виде:

где m — мантисса числа;
q — основание системы счисления;
n — порядок числа.

Для единообразия представления чисел с плавающей запятой
используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n £
|m|

Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Преобразуем десятичное число 555,55, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой:

555,55 = 0,55555 ×
10 3 .

Здесь нормализованная мантисса: m = 0,55555, порядок: n = 3.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности
) или 8 байтов (число двойной точности
). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Определим максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности
, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака — 24 разряда:

011111110111111111111111
знак и порядокзнак и мантисса

Максимальное значение порядка числа составит 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа составит:

2 127 = 1,7014118346046923173168730371588 ×
10 38 .

Максимальное значение положительной мантиссы равно:

2 23 — 1 »
2 23 = 2 (10 ×
2,3) »
1000 2,3 = 10 (3 ×
2,3) »
10 7 .

Таким образом максимальное значение чисел обычной точности
с учетом возможной точности вычислений составит 1,701411 ×
10 38 (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

Задания

1.26. Заполнить таблицу, записав отрицательные десятичные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах в 16-разрядном представлении:

1.27. Определить диапазон представления целых чисел со знаком
(отводится 2 байта памяти) в формате с фиксированной запятой.

1.28. Определить максимальное число и его точность для формата чисел двойной точности
, если для хранения порядка и его знака отводится 11 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака — 53 разряда.

| Планирование уроков на учебный год (ФГОС)
| § 1.2. Представление чисел в компьютере

Ключевые слова:

Разряд

беззнаковое представление целых чисел

представление целых чисел со знаком

представление вещественных чисел

1.2.1. Представление целых чисел

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует нулю, а другое — единице. Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов — разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Ячейка памяти

Для компьютерного представления целых чисел используется несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (под целые числа обычно отводится 8, 16, 32 или 64 разряда) и наличием или отсутствием знакового разряда. Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел, отрицательные числа представляются только в знаковом виде.

Беззнаковое представление используется для таких объектов, как адреса ячеек, всевозможные счётчики (например, число символов в тексте), а также числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях и т. д.

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех разрядах ячейки хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно 2 n -1. Минимальное число соответствует п нулям, хранящимся в n разрядах памяти, и равно нулю.

Ниже приведены максимальные значения для беззнаковых целых n-разрядных чисел:

Для получения компьютерного представления беззнакового целого числа достаточно перевести число в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

Пример 1
. Число 53 10 = 110101 2 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

Это же число 53 в шестнадцати разрядах будет записано следующим образом:

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел называется прямым кодом.

В компьютере прямые коды используются для хранения положительных чисел в запоминающих устройствах, для выполнения операций с положительными числами.

На сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/) размещён информационный модуль «Число и его компьютерный код». С помощью этого ресурса вы можете получить дополнительную информацию по изучаемой теме.

Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код, позволяющий заменить операцию вычитания сложением. Узнать алгоритм образования дополнительного кода вы можете с помощью информационного модуля «Дополнительный код», размещённого на сайте Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/).

1.2.2. Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в экспоненциальной форме:

где:

m — мантисса числа;

p — порядок числа.

Например, число 472 ООО ООО может быть представлено так: 4,72 10 8 , 47,2 10 7 , 472,0 10 6 и т. д.

С экспоненциальной формой записи чисел вы могли встречаться при выполнении вычислений с помощью калькулятора, когда в качестве ответа получали записи следующего вида: 4.72Е+8.

Здесь знак «Е» обозначает основание десятичной системы счисления и читается как «умножить на десять в степени».

Из приведённого выше примера видно, что положение запятой в записи числа может изменяться.

Для единообразия мантиссу обычно записывают как правильную дробь, имеющую после запятой цифру, отличную от нуля. В этом случае число 472 ООО ООО будет представлено как 0,472 10 9 .

Вещественное число может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда. При этом выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Максимальное значение порядка числа для приведённого выше примера составляет 1111111 2 = 127 10 , и, следовательно, максимальное значение числа:

0,11111111111111111111111 10 1111111

Попытайтесь самостоятельно выяснить, каков десятичный эквивалент этой величины.

Широкий диапазон представления вещественных чисел важен для решения научных и инженерных задач. Вместе с тем следует понимать, что алгоритмы обработки таких чисел более трудоёмки по сравнению с алгоритмами обработки целых чисел.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды — под само число. Бели число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1. Положительные числа хранятся в компьютере в прямом коде, отрицательные — в дополнительном.

При хранении в компьютере вещественных чисел выделяются разряды на хранение знака порядка числа, самого порядка, знака мантиссы и мантиссы. При этом любое число записывается так:

где:

m — мантисса числа;

q — основание системы счисления;

p — порядок числа.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Используйте эти материалы при подготовке ответов на вопросы и выполнении заданий.

2. Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

3. Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью. Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

4. Представьте число 63 10 в беззнаковом 8-разрядном формате.

5. Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;

б) 00010101.

6. Какие из чисел 443 8 , 101010 2 , 256 10 можно сохранить в 8-разрядном формате?

7. Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 10 2 ;

б) 0,245 10 -3 ;

в) 1,256900Е+5;

г) 9,569120Е-3.

8. Запишите число 2010,0102 10 пятью различными способами в экспоненциальной форме.

9. Запишите следующие числа в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой — правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

а) 217,934 10 ;

б) 75321 10 ;

в) 0,00101 10 .

10. Изобразите схему, связывающую основные понятия, рассмотренные в данном параграфе.

Назначение сервиса
. Онлайн-калькулятор предназначен для представления вещественных чисел в формат с плавающей точкой.

Правила ввода чисел
  1. Числа в десятичной системе счисления могут вводиться как без дробной, так и с дробной частью (234234.455).
  2. Числа в двоичной системе счисления состоят только из цифр 0 и 1 (10100.01).
  3. Числа в шестнадцатеричной системе счисления состоят из цифр 0 … 9 и букв A … F .
  4. Можно также получать обратное представление кода (из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, 40B00000)

Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.

Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3

Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.

Решение
.

Представление двоичного числа с плавающей точкой в экспоненциальном нормализованном виде
.

Сдвинем число на 2 разрядов вправо. В результате мы получили основные составляющие экспоненциального нормализованного двоичного числа:
Мантисса M=1.011
Экспонента exp 2 =2
Преобразование двоичного нормализованного числа в 32 битный формат IEEE 754
.
Первый бит отводится для обозначения знака числа. Поскольку число положительное, то первый бит равен 0
Следующие 8 бит (с 2-го по 9-й) отведены под экспоненту.
Для определения знака экспоненты, чтобы не вводить ещё один бит знака, добавляют смещение к экспоненте в половину байта +127. Таким образом, наша экспонента: 2 + 127 = 129
Переведем экспоненту в двоичное представление.
Оставшиеся 23 бита отводят для мантиссы. У нормализованной двоичной мантиссы первый бит всегда равен 1, так как число лежит в диапазоне 1 ≤ M Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
01100000000000000000000 = 2 22 *0 + 2 21 *1 + 2 20 *1 + 2 19 *0 + 2 18 *0 + 2 17 *0 + 2 16 *0 + 2 15 *0 + 2 14 *0 + 2 13 *0 + 2 12 *0 + 2 11 *0 + 2 10 *0 + 2 9 *0 + 2 8 *0 + 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 0 + 2097152 + 1048576 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3145728
В десятичном коде мантисса выражается числом 3145728
В результате число 101.10 представленное в IEEE 754 c одинарной точностью равно.
Переведем в шестнадцатеричное представление.
Разделим исходный код на группы по 4 разряда.
2 = 0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2
Получаем число:
0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 2 = 40B00000 16

Метод молекулярных орбиталей (МО). Молекулярно-орбитальные диаграммы

Мы уже знаем, что в атомах электроны находятся на разрешенных энергетических состояниях – атомных орбиталях (АО). Аналогичным образом, электроны в молекулах  существуют в разрешенных энергетических состояниях – молекулярных орбиталях (МО).

Молекулярная орбиталь

Молекулярная орбиталь устроена намного сложнее атомной орбитали. Приведем несколько правил, которыми мы будем руководствоваться при построении МО из АО:

  • При составлении МО из набора атомных орбиталей, получается такое же число МО, сколько АО в данном наборе.
  • Средняя энергия МО, полученных из нескольких АО, примерно равна (но может быть больше или меньшее) средней энергии взятых АО.
  • МО подчиняются принципу запрета Паули: на каждой МО не может находиться более двух электронов, которые должны иметь противоположные спины.
  • АО, которые обладают сопоставимой энергией, комбинируются наиболее эффективно.
  • Эффективность, с которой комбинируют две атомные орбитали, пропорциональна их перекрыванию друг с другом.
  • При образовании МО при перекрывании двух неэквивалентных АО связывающая МО содержит больший вклад АО с наиболее низкой энергией, а разрыхляющая орбиталь – вклад АО с более высокой энергией.

Введем понятие порядок связи. В двухатомных молекулах, порядок связи показывает насколько число связывающих электронных пар превышает число разрыхляющих электронных пар:

Теперь на примерах рассмотрим как строить молекулярные орбитали с применением этих правил.

Молекулярно-орбитальные диаграммы элементов первого периода

Диаграмма МО молекулы Н

2

Пример образования молекулы водорода из двух атомов водорода.

В результате взаимодействия 1s-орбиталей каждого из атомов водорода, образуются две молекулярные орбитали.

При взаимодействии, когда электронная плотность концентрируется в пространстве между ядрами, образуется связывающая сигма – орбиталь (σ). Эта комбинация имеет более низкую энергию, чем исходные атомы. При взаимодействии, когда электронная плотность концентрируется за пределами межъядерной области, образуется разрыхляющая сигма – орбиталь (σ*). Эта комбинация имеет более высокую энергию, чем исходные атомы.

диаграммы МО молекул водорода и гелия

Электроны, в соответствии с принципом Паули, занимают сначала орбиталь с самой низкой энергией σ-орбиталь.

Диаграмма МО молекулы Не

2

Теперь рассмотрим пример образования молекулы гелия He2, при сближении двух атомов гелия. В этом случае тоже происходит взаимодействие 1s-орбиталей и образование и σ*-орбиталей, при этом два электрона занимают связывающую орбиталь, а другие два электрона – разрыхляющую.

σ *— орбиталь дестабилизирована в такой же мере, насколько стабилизирована σ –орбиталь, поэтому два электрона, занимающие σ*— орбиталь, дестабилизируют молекулу He2. Действительно, экспериментально доказано, что молекула He2 очень неустойчива.

Как узнать несколько велика прочность молекулы? Чем больше разница в заполненности связывающей и разрыхляющей орбиталей, тем молекула более прочная. Как видно из диаграммы разница в заполненности орбиталей молекулы водорода больше, чем молекулы гелия, поэтому молекула водорода намного более прочная, чем молекула гелия.

Молекулярно-орбитальные диаграммы элементов второго периода

Рассмотрим, как взаимодействуют два одинаковых атома второго периода между собой, имеющие набор из s- и p-орбиталей. Следует ожидать, что 2s-орбитали будут соединяться только друг с другом, а 2p-орбитали – только с а 2p-орбиталями.

Т.к. 2p-орбитали могут взаимодействовать друг с другом двумя различными способами, то образуют σ- и π-молекулярные орбитали. Пользуясь обобщенной диаграммой, показанной ниже, можно установить электронные конфигурации двухатомных молекул второго периода, которые приведены в таблице.

Так, образование молекулы, например, фтора F2 из атомов в системе обозначений теории молекулярных орбиталей может быть записано следующим образом:

2F [1s22s22p5] =F2[(σ1s)2*1s)22s)2*2s)22px)22py)22pz)2*2py)2*2pz)2].

Т.к. перекрывание 1s-облаков незначительно, то участием электронов на этих орбиталях можно пренебречь. Тогда электронная конфигурация молекулы фтора будет такой:

F2[KK(σs)2*s)2x)2y)2z)2*y)2*z)2],

где К — электронная конфигурация К-слоя.

В таблице приведены молекулярные орбитали двухатомных молекул элементов второго периода бора (B2), углерода (C2), азота (N2), кислорода (O2), фтора (F2)

Рассмотрим подробнее пример образования молекулы лития Li2, принимая во внимание, что 1s- и 2s-орбитали слишком сильно отличаются по энергии и поэтому между ними не возникает сильного взаимодействия.

Диаграмма энергетических уровней молекулы Li2 показана ниже, где электроны, находящиеся на 1s-связывающих и 1s-разрыхляющих орбиталях не вносят значительного вклада в связывание. Поэтому за образование химической связи в молекуле Li2 отвечают 2s-электроны.

диаграмма МО молекулы лития

Это действие распространяется и на образование других молекул, в которых заполненные атомные подоболочки (s, p, d) не дают вклада в химическую связь. Таким образом, рассматриваются только валентные электроны.

В итоге, для щелочных металлов, молекулярно-орбитальная диаграмма будет иметь вид подобный рассмотренной нами диаграмме молекулы Li2.

Порядок связи n в молекуле Li2 равен 1

Молекулярные орбитали полярных двухатомных молекул

Учение о МО позволяет объяснить и образование двухатомных гетероядерных молекул. Если атомы в молекуле не слишком отличаются друг от друга (например, NO, CO, CN), то можно воспользоваться диаграммой, приведенной выше для элементов 2 периода.

При значительных различиях между атомами, входящих в состав молекулы, диаграмма видоизменяется.

Чем больше электроотрицательность атома, тем более низко на диаграмме обозначают атомные орбитали.

Диаграмма МО молекулы HF

Рассмотрим молекулу HF, в которой атомы сильно отличаются по электроотрицательности.

Энергия 1s-орбитали атома водорода выше энергии самой высокой из валентных орбиталей фтора – 2p — орбитали. Взаимодействие 1s-орбитали атома водорода и 2p — орбитали фтора приводит к образованию связывающей и разрыхляющей орбиталей, как показано на рисунке. Пара электронов, находящиеся на связывающей орбитали молекулы HF, образуют полярную ковалентную связь.

Для связывающей орбитали молекулы HF 2p — орбиталь атома  фтора играет более важную роль, чем 1s — орбиталь атома водорода.

Для разрыхляющей орбитали молекулы HF наоборот: 1s — орбиталь атома водорода играет более важную роль, чем 2p — орбиталь атома  фтора

Диаграмма МО молекулы HF

Т.к. электроотрицательность фтора больше, чем электроотрицательность водорода, то на диаграмме, атомные орбитали фтора расположени ниже, чем атомная орбиталь водорода.

Определим порядок связи, т.е. кратность связи:

Т.о. в молекуле H-F связь одинарная.

Диаграмма МО молекулы СО

Электронная конфигурация внешнего слоя атомов углерода и кислорода:

С+6 1s2 2s2 2p2

O+8 1s2 2s2 2p4

Кислород более электроотрицательный элемент, поэтому его атомная орбиталь на диаграмме расположена ниже орбитали углерода.

Диаграмма МО молекулы СО имеет вид:

СO[KK(σs)2*s)2x)2y)2z)2*y)]

Кратность связи равна:

n=(8-2)/2 = 3

Диаграмма молекулы NO приведена в разделе Задачи к разделу Химическая связь и строение молекул

Как создать концептуальную карту

Время чтения: около 5 минут

Автор: Lucid Content Team

5 простых шагов для создания концептуальной карты

5 простых шагов для рисования концептуальной карты

  1. Выбор носителя для рисования
  2. Определите основную концепцию
  3. Определите связанные концепции
  4. Организуйте формы и линии
  5. Настройте карту

Сопоставление концепций — это мозговой штурм с определенной целью. Вы начинаете с всеобъемлющей концепции, которую вы разбиваете на более мелкие части, используя стрелки и связывая слова, чтобы показать, как идеи связаны между собой.Общие в образовании концептуальные карты полезны в любой области, стимулируя творческое и визуальное мышление.

Если вам нужна дополнительная информация о том, когда использовать концептуальные карты, ознакомьтесь с нашим удобным руководством по концептуальным картам.

Концептуальная карта поможет вам лучше понять сложные темы, увидеть общую картину и обнаружить новые связи благодаря совместному и визуальному подходу. С помощью перетаскиваемых фигур, гибких линий и совместной работы в реальном времени Lucidchart вы можете погрузиться в любую концепцию и быстро ее отобразить.

Шаблон базовой концептуальной карты (Щелкните изображение, чтобы изменить онлайн)

Прочтите, чтобы узнать, как легко нарисовать концептуальную карту, чтобы вы могли более эффективно общаться, решать проблемы и проводить мозговой штурм.

5 простых шагов для рисования концептуальной карты

1. Выберите носитель для рисования

Многие люди просто используют ручку и бумагу или доску, потому что они легко доступны, но сохранить каракули на белой доске или сделать рукописный текст непросто. диаграмма выглядит профессионально, как только вы закончите.

Lucidchart, облачное визуальное рабочее пространство, имеет преимущество сохранения вашей работы в цифровом формате, что позволяет легко публиковать, редактировать и совершенствовать вашу диаграмму. Кроме того, вы можете получить доступ к своим диаграммам с любого устройства с подключением к Интернету.

2. Создайте основную концепцию

Какой бы носитель вы ни выбрали, следующим шагом будет определение центральной идеи, которую вы хотите детализировать. Если вы не знаете, с чего начать, попробуйте определить отрывок текста, задание в классе или сложную проблему, которую нужно решить.

Может быть полезно задать один вопрос, называемый основным вопросом, который четко определяет проблему или проблему, которую поможет решить концептуальная карта. Ваша концептуальная карта будет постоянно возвращать к этому вопросу и ответу на него.

3. Определите ключевые концепции

Теперь, когда вы выбрали основную концепцию, следующий шаг — записать подчиненные концепции. Составьте список связанных идей и ранжируйте их от общих к частным. Этот список, также известный как парковка, потому что вы ждете, чтобы перенести эти идеи на свою карту, должен состоять примерно из 15-25 ключевых концепций.

Опишите каждую концепцию как можно короче; обычно достаточно одного или двух слов на идею. Если описания будут краткими, карта не станет раздутой и перегруженной текстом.

4. Организуйте формы и линии.

Упорядочите каждую из ваших концепций в иерархическом формате, с наиболее общими идеями вверху карты под основной концепцией и наиболее конкретными внизу. Ваша концептуальная карта примет форму, когда вы соедините фигуры линиями и определите правильное место для каждой идеи.

Концептуальные карты обычно содержат текст или связывающие слова, написанные в каждой строке, чтобы понять связь между общей концепцией и более конкретными. Текст может включать в себя особый глагол, например «предоставляет» или «охватывает».

После того, как вы создали эту предварительную концептуальную карту, содержащую основные ссылки, добавьте перекрестные ссылки, чтобы проиллюстрировать отношения между концепциями, которые находятся на одном уровне специфичности.

5. Настройте карту

Добавляя ссылки к каждой концепции, обязательно внимательно исследуйте отношения, которые вы иллюстрируете.Задайте себе такие вопросы:

  • Каждый ли элемент хорошо вписывается в свое место?
  • Есть ли лучшая позиция для этой идеи или группы идей?
  • Могу ли я использовать более точное связующее слово для обозначения этой связи?

Эти вопросы помогут вам улучшить когнитивные способности и проверить свои знания по любому предмету.

Помните, что это предварительная карта, которую, вероятно, нужно будет пересмотреть. Lucidchart упрощает изменение порядка фигур на странице, добавление дополнительных примечаний и комментариев и даже применение привлекательного стиля к вашей диаграмме.

С Lucidchart вы можете легко создавать организованные концептуальные карты и другие специализированные диаграммы прямо в вашем веб-браузере. Начните бесплатную пробную версию и убедитесь в этом сами!

Примеры концептуальных карт

Вот несколько примеров того, что вы можете делать с Lucidchart. Используйте любой из этих шаблонов в качестве вдохновения или отправной точки для ваших собственных концептуальных карт.

Пример карты концепции управления продажами (Щелкните изображение, чтобы изменить в Интернете) Пример карты концепции медсестер (Нажмите изображение, чтобы изменить в Интернете) Пример карты концепции управления персоналом (Щелкните изображение, чтобы изменить в Интернете) Пример карты концепции Spider (Нажмите на изображение, чтобы изменить в Интернете)

Как создать концептуальную карту в G Suite

Иногда вы можете обнаружить, что вам нужно включить концептуальную карту как часть бизнес-обоснования, школьной презентации или другой документации.Поскольку Lucidchart интегрирован с G Suite, вы можете легко вставить свою концептуальную карту в Документы, Таблицы и Презентации. Узнайте, как создать концептуальную карту в Документах Google с помощью нашего бесплатного дополнения.

Как создать концептуальную карту в Microsoft Office

Если вы используете Microsoft Office, а не G Suite, вы по-прежнему можете пользоваться теми же преимуществами, потому что Lucidchart также интегрирован с Microsoft Office. Добавьте концептуальные карты и предоставьте контекст для данных в Excel, привлекательные визуальные элементы в Word и современные диаграммы в PowerPoint.Узнайте, как создать концептуальную карту в Microsoft Word с помощью нашего бесплатного дополнения.

Сделайте так, чтобы концептуальное отображение работало на вас, с помощью этих простых шагов и интеграции Lucidchart. Вы сможете уделять больше времени решению проблем, совершенствованию процессов или воплощению своих идей в жизнь.

Готовы поднять концептуальную карту на новый уровень с Lucidchart?

Посмотрите, как

Как создавать концептуальные карты для визуализации идей

Это учебное пособие по концептуальным картам поможет вам овладеть техникой использования концептуальных карт, будь то для вашего образования или для вашего бизнеса.

В этом путеводителе по концептуальной карте вы найдете информацию о

Что такое концептуальная карта?

Концептуальные карты — это графический инструмент, который используется для визуализации значимых взаимосвязей между концепциями. Он используется как инструмент представления знаний, то есть они в основном представляют собой структуру знаний, которые мы, люди, храним в нашем сознании по определенной теме.

Как простые, так и сложные концептуальные карты состоят из двух вещей: концепций и взаимосвязей между ними.

Щелкните шаблон, чтобы отредактировать его в Интернете

Происхождение концептуальных карт

Концептуальные карты были результатом исследования, проведенного в 1970-х годах в Корнельском университете Джозефом Новаком, американским педагогом и ученым-исследователем, и его исследовательской группой.

Чтобы изучить, как дети понимают основные научные концепции, они изучили и опросили много детей. Однако им было трудно определить изменения в способах понимания детьми научных концепций только по подробным стенограммам интервью.

Необходимость найти лучшее решение для представления концептуального понимания детей привело к разработке концептуальной карты в 1972 году.

С тех пор он широко используется не только в сфере образования и исследований, но и в бизнесе.

Ключевые характеристики концептуальной карты

Не все диаграммы, в узлах которых есть слова / фразы, являются концептуальными картами. Концептуальные карты имеют определенные характеристики, которые отличаются от других диаграмм, используемых для представления знаний. А они,

Узлы

Узлы — это круги или прямоугольники, которые используются для представления концепции или идеи. Они могут различаться по размеру в зависимости от их иерархии на карте; например, более общие узлы в верхней части карты могут быть больше, чем более конкретные узлы, следующие за ними.

Перекрестные ссылки

Концептуальные карты состоят из концептов в разных областях. И отношения между этими различными областями знаний показаны перекрестными ссылками.

Связывающие слова

Или связывание фраз, если в нем больше слова. Они описывают тип взаимосвязи между двумя понятиями и появляются на линии, соединяющей их.

Иерархическая структура

Обычно концептуальные карты организованы иерархически. Это означает, что наиболее общие и всеобъемлющие концепции размещаются вверху карты.Те, которые более конкретны, расположены под ними. Соответственно, иерархические концептуальные карты читаются сверху вниз.

Тем не менее, структура концептуальной карты не ограничивается этой структурой, она также может принимать произвольный подход — начиная с центра и распространяясь наружу.

Структура высказываний

Концептуальная карта иллюстрирует набор значимых предложений по теме.

Каждые два понятия (в некоторых случаях более двух) вместе со связующими фразами образуют осмысленное предложение, также известное как предложение.

Например, на следующей карте концептов понятия «Взаимосвязи» и «Соединители и связывающие слова» связаны с помощью соединительной фразы «Представлены с помощью». Когда они связаны, это формирует предложение «Отношения представлены соединителями и связующими словами».

Фокус вопрос

Как правило, концептуальная карта должна быть связана с основным вопросом, который является проблемой или проблемой, которую концептуальная карта стремится решить. Чем лучше сфокусирован вопрос, тем богаче будет концептуальная карта.

Основная теория

Концептуальные карты основаны на теории ассимиляции Осубеля. Это построено на том факте, что новые знания можно эффективно усвоить, связав их с уже известными. Концептуальные карты рассматриваются как методологический инструмент этой теории.

Как нарисовать концептуальную карту

Вы можете нарисовать концептуальную карту на листе бумаги или в программе для создания концептуальных карт. В любом случае, когда вы рисуете, придерживайтесь следующих шагов.

Шаг 1. Выберите тему

Первый шаг — определить тему, которую вам нужно изучить, с помощью вашей концептуальной карты.Это может быть идея, вопрос или проблема.

Например, допустим, вас интересует SEO или поисковая оптимизация.

Шаг 2. Проведите быстрый мозговой штурм

Какие факты, идеи, концепции, темы, вопросы и т. Д. Приходят вам в голову, когда вы думаете об этой теме? Записывайте их во время мозгового штурма по выбранной вами теме. Не забудьте сделать их как можно более краткими.

Шаг 3. Начните рисовать карту

Рекомендуется начинать концептуальную карту сверху и развивать ее вниз, хотя вы можете поместить свою тему в центр и развернуть ее наружу.В любом случае убедитесь, что центральная тема выделяется среди остальных (используйте узел большего размера, другой цвет и т. Д.).

Шаг 4. Соедините концепции

Теперь пришло время связать то, что вы придумали, с центральной темой и друг с другом. Помните, чем важнее идея, тем ближе она должна быть к верху или центру.

По мере того, как вы определяете эти связи, запишите связывающие слова или фразы, чтобы обозначить взаимосвязь между двумя концепциями, которые вы связываете.

После того, как были определены прямые связи между концепциями, ищите перекрестные ссылки, которые связывают концепции из разных областей или областей.

Шаг 5: Что-то отсутствует?

Тщательно исследуйте то, что вы создали, чтобы убедиться, что вы ничего не пропустили, и что отношения, которые вы определили, имеют смысл.

Бесплатные редактируемые шаблоны концептуальных карт

Вот несколько шаблонов схем концептуальных карт, которые вы можете сразу же редактировать на Creately.Щелкните изображение, чтобы открыть его в редакторе. Внесите изменения в соответствии с вашими потребностями и экспортируйте их как изображения, PNG, PDF или JPEG.

Шаблон 1

Щелкните шаблон, чтобы отредактировать его в Интернете

Шаблон 2

Щелкните шаблон, чтобы отредактировать его в Интернете

Шаблон 3

Щелкните шаблон, чтобы отредактировать его в Интернете

Использование концептуальных карт

Хотя концептуальные карты впервые были представлены в сфере образования, за последние несколько десятилетий они приобрели популярность в ряде других областей.

Концептуальные карты в образовании

В области образования концептуальные карты используются как инструмент обучения, так и инструмент оценки для оценки обучения учащихся.

  • Содействовать осмысленному обучению, помогая устанавливать связи между тем, что учащиеся уже знают, и новыми знаниями, которые они приобретают
  • Организуйте знания вокруг предмета для быстрого анализа
  • Оцените понимание учащимися, чтобы увидеть, где их знания нуждаются в улучшении
  • Проведите эффективный мозговой штурм по теме
  • Легко усваиваемое представление сложных концепций
  • Организовать учебные материалы для курсов или учебных программ
  • Может использоваться как основа для обсуждения среди студентов
  • Помогите определить действительные и неверные идеи студентов
  • Способствовать развитию творческого и критического мышления среди учащихся
  • Может использоваться как альтернатива традиционным конспектам и письменным заданиям
Концептуальные карты в бизнесе

По своей конструкции концептуальные карты подходят для бизнес-анализа.В сфере бизнеса концептуальные карты широко используются для сохранения, генерации и обмена знаниями.

  • Для проведения групповых мозговых штурмов с целью выработки новых стратегий, новых бизнес-концепций и т. Д.
  • Поддерживать творческий и ориентированный на результат подход к развитию бизнеса
  • Может использоваться как систематический способ поделиться бизнес-идеями, знаниями и т. Д. С другими экспертами.
  • Помощь в планировании и составлении бизнес-документов, бизнес-презентаций и т. Д.
Концептуальные карты в качественных исследованиях

Концептуальные карты в качественных исследованиях используются в качестве методической исследовательской стратегии.

  • Может использоваться для планирования исследовательского проекта
  • Может помочь уменьшить объемные текстовые данные до удобной формы без потери смысла
  • Выявление взаимосвязей между концепциями в исследовании и анализ тем
  • Проанализировать информацию, предоставленную респондентами в ходе исследования; помочь исследователю сохранить смысл интервью
  • Эффективное представление результатов

Рекомендации по картированию концепций

Придерживайтесь иерархической структуры

Концептуальные карты, организованные в соответствии с иерархической структурой, легче читать.Поскольку самые общие концепции идут вверху, а более конкретные — ниже, их можно легко прочитать сверху вниз.

Концепция единого корня

Карта понятий может иметь два основных понятия, но ограничение одним помогает учащемуся легко определить, как построены концепции. С другой стороны, наличие двух основных концепций может сбивать с толку.

Цветовой код ваших концептуальных карт

Цвета помогают сразу различать концепции в разных областях.Это не только упрощает чтение карты, но и когда дело доходит до вызова информации, цветовое кодирование играет жизненно важную роль.

Убедитесь, что связующие фразы имеют смысл

Два понятия и связующая фраза должны составить осмысленное предложение. Это может быть слово, фраза или иногда даже символ, например + или%. В любом случае убедитесь, что ваша концептуальная карта хорошо читается.

Всегда основывайте свою концептуальную карту на главном вопросе

Если вы ответите на один-единственный вопрос, это поможет вам лучше структурировать концептуальную карту и удержать себя от отклонения от своей цели.

Ссылка на дополнительные ресурсы

Если вы рисуете свои концептуальные карты с помощью программного обеспечения для концептуального картирования, у вас есть возможность сделать его более изобретательным. При упоминании концепций вы можете добавлять активные ссылки на свои концептуальные карты, чтобы читатель мог более тщательно изучить идею.

8 типов карт мышления, объясненных с помощью редактируемых шаблонов

Обратная связь по всеобъемлющей концептуальной карте Учебное пособие

В этом руководстве по концептуальным картам мы рассмотрели все — независимо от того, знакомы ли вы с концептуальным картированием или использовали его раньше — вы должны знать, когда речь идет о схемах концептуальных карт.Если вы готовы нарисовать концептуальную карту, начните с Creately Concept Map Maker.

И не забудьте оставить свой отзыв!

Лучше и быстрее визуализируйте связи между идеями, концепциями, процессами. Зарегистрируйте учетную запись Creately, чтобы создавать концептуальные карты в Интернете.

Начни здесь

Что такое концептуальная карта и как ее создать?

Сталкивались ли вы в последнее время с проблемами при осмыслении своих идей после сеанса сброса мозгов?

Скажите «да», и вам может понадобиться конструктор концептуальных карт!

Если вы начинающий студент или владелец бизнеса, карта концепций может вам помочь.Причина в том, что идеи постоянно текут в голове, и тогда становится важным уловить их и интерпретировать из них значимую информацию, чтобы использовать ее в дальнейшем.

Хотя у многих из вас есть хорошая привычка фиксировать свои идеи в журналах, простое их накопление не поможет. Вам нужно сопоставить вещи и выделить информацию, которая имеет смысл, с идеей или концепцией, которые можно обрабатывать больше, чтобы повысить ценность вашей учебы или бизнеса.

Звучит непонятно?

Позвольте мне упростить это, приведя вам пример.

Предположим, если вы знаете языки программирования C и C ++, становится немного легче изучать Java.

Или,

Если у вас есть опыт вождения автомобиля на холмистых станциях, вам станет легче ездить на другой равнинной местности.

В чем причина?

Из-за вашего предыдущего опыта, будь то вождение, или язык программирования открывает путь для последующих вещей. Когда новое знание интегрируется и соединяется с существующим знанием, новое становится легко понять и запомнить.

Концептуальная карта работает аналогичным образом.

Давайте углубимся в науку о картировании концептов и разберемся с ней все.

Что такое концептуальная карта?

Концептуальная карта — это диаграмма или визуальное представление и организация знаний. Диаграмма представлена ​​в виде двухмерного документа сверху и снизу. Основные концепции организованы вверху с ключевыми словами, а связанные с ними идеи расположены ниже в прямоугольниках или пузырьках и связаны с центральной концепцией через соединители.

Карта понятий следует иерархической структуре, в которой отношения между различными идеями сформулированы с помощью соединительных фраз, объясняющих, как идеи связаны друг с другом с помощью коротких фраз.

Метод визуализации отношений между несколькими концепциями называется отображением концептов.

Этот графический инструмент является жемчужиной как для студентов, так и для профессионалов, включая инженеров, разработчиков учебных материалов, технических писателей, предпринимателей и многих других.

История концептуальных карт

Заслуга в разработке концептуальных карт принадлежит Джозефу Д. Новаку, ученому-исследователю и американскому педагогу, и его команде в 70-х годах в Корнельском университете.

Концептуальные карты появились в результате их исследования, в ходе которого они понимали, как учащиеся усваивают основные научные концепции. В своем исследовании они обнаружили, что только стенограммы интервью в подробном формате студентам недостаточно для понимания различных научных концепций.

Следовательно, им нужен был лучший способ представления вещей, что в конечном итоге привело к разработке Концептуальной карты в 1972 году.

Почему вам следует создавать и использовать концептуальные карты?

Концептуальные карты объясняют, как мысли соотносятся друг с другом, что может стать отличным учебным пособием для любого. Карты могут помочь вам соединить точки между ранее полученными знаниями и новыми концепциями, чтобы выявить новые взаимосвязи.

Иерархическая структура, в которой идеи расположены каскадно, может быть потенциальным подходом к обучению. Это может помочь вам определить места, где ваши мысли вписываются в общую картину, и разработать новые концепции в процессе.

Как правило, концептуальные карты можно использовать для:

  • Обсудите мысли
  • Структурируйте свои мысли и расположите их должным образом, чтобы выделить значимую информацию
  • Установите взаимосвязь между различными идеями, которые имеют смысл
  • Продемонстрируйте подразделы идеи
  • Обобщите и запишите ключевые концепции
  • Создайте новая концепция
  • Визуализируйте основную концепцию
  • Найдите решение проблемы в творческом стиле.
  • Представьте новую тему и оцените предыдущие знания
  • Оценка обучения
  • Выделите разницу и / или сходство между двумя концепциями

Являются ли концептуальные карты такими же, как интеллектуальные карты?

Где-то в Интернете вы узнали о концептуальном картировании и обнаружили, что это может вам очень помочь. Внезапно в следующей статье рассказывается о картах разума или тематических картах.

Бьюсь об заклад, вы, должно быть, запутались!

И у вас есть все права на это, потому что сначала это действительно сбивает с толку.

Но вот в чем дело — они разные.

Давайте узнаем, как!

Концептуальная карта

  • Он представляет собой сеть из нескольких взаимосвязанных концепций
  • Кажется, что больше на логической стороне
  • Отлично подходит для отображения своих знаний и анализа пробелов в контенте
  • Узлы могут иметь отношения «многие ко многим»
  • Легко проверить с помощью фраз подключения
  • Может быть сложно изменить, если у него более 20 узлов
  • Подчеркивает как темы, так и их связи
  • Темы могут быть перекрестно связаны
  • Утверждение предложение; означает, что каждые два узла, которые связаны с помощью связывающих фраз, образуют конкретное предложение

Mind Map

  • Это древовидная диаграмма, в которой вы можете систематизировать информацию
  • Кажется, обеспечивает большую гибкость
  • Полезно для мозгового штурма, быстрых заметок и создания идей
  • Узлы обычно имеют простые, однозначные отношения
  • Не поддается проверке
  • Модификация проста даже с большими узлами
  • Больше внимания уделяется самой теме
  • Нет перекрестных ссылок
  • Нет утверждения утверждения

Как концептуальная карта может помочь вам организовать свои мысли?

Концептуальные карты расширяют преимущества как для докладчиков, так и для тех, кто изучает новую информацию.Вы можете проиллюстрировать любую систему, например, предложить свежий план, обучить студентов и т. Д.

Посмотрите, как концептуальная карта может вам помочь:

Быстрая интерпретация

Вы можете быстрее усвоить идеи, глядя на концептуальную карту, чем просто читая ее в книге или статье. Это потому, что ваш мозг быстрее обрабатывает информацию, когда она представлена ​​в визуальном формате с выделенными ключевыми моментами и краткостью.

Помогает в подготовке презентаций

Вы можете создать концептуальную карту и систематизировать идеи в кратком и логичном формате для демонстрации в ваших презентациях.Это окажет более глубокое влияние на слушателей.

Эффективная оценка знаний

Вместо того, чтобы выбирать традиционный набор вопросов или оценку с несколькими вариантами ответов, преподаватели могут использовать концептуальные карты для оценки знаний учащихся по определенной теме.

Объясняет иерархию идей

Вы можете продемонстрировать взаимосвязь между различными компонентами разными способами. Лучше всего то, что карта следует иерархической структуре, где вы можете считывать данные сверху с определенной информацией и тем, как они развиваются, и взаимосвязаны с более мелкими деталями по мере того, как вы идете по полосе.

Способствует сотрудничеству в команде

Когда вы можете более полно представить свои идеи с помощью концептуальной карты, люди склонны понимать их лучше. Следовательно, им становится легче сотрудничать над планом.

Визуальные изображения стимулируют мозговую деятельность. А концептуальная карта предназначена для творческого визуального представления идей. Следовательно, он может развить аналитические навыки, а также навыки мышления более высокого порядка. Кроме того, это также облегчает обработку и напоминание информации.

Как нарисовать концептуальную карту?

Выберите предпочитаемую среду для рисования

У вас есть два варианта; вы можете нарисовать карту на доске или двухмерном листе бумаги с помощью пера или программного инструмента.

С помощью программного обеспечения сравнительно легко создавать, изменять и настраивать диаграммы. Кроме того, вы можете сохранить любое количество дизайнов в самой сети и вернуться позже для редактирования.

Определите центральную концепцию

Определите причину создания вашей концептуальной карты.Попробуйте подумать о проблемном вопросе, который необходимо решить. Придумайте вопрос, который вы хотите решить, используя концептуальную карту.

Исходя из вопроса, выделите центральную концепцию и напишите ее вверху.

Определите связанные концепции

Перечислите все связанные идеи, которые могут помочь решить проблему. Ранжируйте их в зависимости от того, насколько они специфичны или универсальны.

Кратко опишите эти под-концепции, возможно, примерно 1-2 слова на концепцию.

Расставьте элементы и добавьте связующие фразы

Подконцепции упорядочивания на основе иерархии.Держите самые общие в верхней части под основной концепцией. Точно так же держите конкретные идеи внизу. Соедините идеи линиями и дайте связующую фразу для каждой линии, объясняя отношения между узлами.

Проверить окончательный вид

Проверьте каждый элемент, правильно ли он расположен. Проверьте, имеют ли смысл связанные фразы. Выясните, хороша аранжировка или нет. Если нет, вы можете найти более подходящие места для их обнаружения.

Отрегулируйте все, и вы закончили рисовать концептуальную карту!

Теперь, без промедления, давайте познакомимся с некоторыми онлайн-платформами для создания концептуальной карты, чтобы вы могли значительно сэкономить свое время и воспользоваться другими связанными с этим преимуществами.

Canva

Похоже, звездный дизайн — синоним Canva!

Я имею в виду, что этот веб-сайт обладает огромным потенциалом для разработки самых разных вещей, от маркетинговых и деловых материалов до социальных сетей и личных контрольных списков.

Концептуальная карта — одна из них.

Canva — это то место, где вы получаете исключительную гибкость и простоту рисования блестящих концептуальных карт для мозгового штурма, систематизации идей и решения сложных задач. Они предлагают вам на выбор более 20 профессиональных графиков, а также превосходно разработанные шаблоны и несколько заранее разработанных макетов, чтобы быстро приступить к работе.

Смешивайте разные вещи с помощью миллионов иллюстраций, изображений, векторных изображений или значков, чтобы представить свои идеи. Настройте шаблоны, изменив цвета, текст или элементы, чтобы сделать их увлекательными.Canva предлагает сотни бесплатных шрифтов, чтобы передать индивидуальность, стиль и цель вашего бренда.

Конструктор или нет, не важно!

Используйте редактор перетаскивания, чтобы расположить вещи. Без суетливости вставляйте концептуальную карту в свои презентации и отчеты. Вы можете легко визуализировать данные через интуитивно понятный интерфейс Canva, не изучая сложное программное обеспечение.

Сотрудничайте со своими командами, чтобы получить новые взгляды или идеи по поводу вашей концепции, поделившись редактируемой копией дизайна, где они могут добавлять комментарии или вносить изменения из любой точки земного шара.После того, как вы закончите разработку, вы можете сохранить ее, а затем загрузить, опубликовать или поделиться своими красивыми картами с высоким разрешением.

Эдрав

Мозговой штурм не обязательно должен быть скучным!

Соберите глазные яблоки, создавая красивые концептуальные карты с Edraw.

Вас поразит бесчисленное количество шаблонов, форм, значков и символов, которые он предлагает. Просто выберите элементы, с которых хотите начать, и настройте их.

Все шаблоны, которые он предлагает, полностью настраиваются, доступны для печати и редактирования.Некоторые из шаблонов включают стиль Венна, маркетинг, цикл, разноцветный, прямоугольник, карты мышления и многое другое.

С помощью построителя концептуальных карт можно суммировать и систематизировать фрагментированные знания в определенном порядке. Упростите взаимодействие между двумя концепциями с помощью привлекательных соединителей и связывающих текстов. Мощные возможности настройки и интуитивно понятный интерфейс Edraw Max позволяют создавать карты высокого качества.

Если вам нравится работать с MS Office, держу пари, вам понравится Edraw Max с точки зрения удобства использования и интерфейса.Он удобен в использовании с функцией перетаскивания.

Поскольку у него есть облачное хранилище и возможность совместной работы в облаке, вы можете работать с командами из любого места, в любое время и с любого устройства. Поделитесь своей работой в социальных сетях или экспортируйте файлы в различные форматы файлов, такие как PDF, Microsoft PowerPoint и различные форматы изображений.

Visme

Вы хотите создать концептуальную карту, которая может объяснить сложные темы вашей команде?

Если да, Visme поможет вам сделать это за считанные минуты.

Обширный набор инструментов поможет вам создавать проекты с нуля, включая формы, соединительные линии, располагая их по всему холсту, чтобы ваши сообщения передавались должным образом.

Visme имеет очаровательные возможности настройки, которые помогут вам изменить внешний вид всего внутри вашего рисунка. Вы можете минимизировать или увеличить фигуры, не трогая соединенные линии. Поиграйте с цветами, чтобы выделять объекты, изменять текст и шрифты, а также анимировать карту с помощью вкладки «Действия», которую вы можете найти в правом верхнем углу.

Visme имеет готовые шаблоны, множество изображений и значков, а также широкий спектр элементов дизайна. Вы можете скачать свои карты в формате PDF или в виде файлов изображений. Создайте ссылку для общего доступа или вставьте ее на веб-страницу. Включайте графики и диаграммы и визуализируйте свои цифры и статистику с помощью настраиваемых виджетов данных.

Миро

Вы хотите понять новую концепцию?

Хотите узнать взаимосвязь между сложными идеями?

Каким бы ни был вариант использования, Miro может помочь вам создать замечательную концептуальную карту!

Экономьте свое время, используя встроенные шаблоны Miro вместо того, чтобы рисовать все с нуля.Приглашайте команды для совместной работы над концептуальной картой, поскольку Miro позволяет вам привлекать удаленные и совместно расположенные команды через виртуальную доску, которая не имеет ограничений.

Вы получаете такие шаблоны, как:

  • Lean Canvas, где вы можете выделить важные моменты, касающиеся вашего бизнеса
  • Матрица сегментации рынка для определения ключевых возможностей для роста
  • Матрица RACI для отслеживания ответственности и обеспечения содержательного диалога
  • Шаблон 5-Whys для определения основной причины проблемы
  • Алмазный шаблон стратегии для надежной бизнес-стратегии

Lucidchart

Ускорьтесь к инновациям, создавая новые концепции с помощью Lucidchart.

Для обучения и преподавания он помогает визуализировать взаимосвязи между идеями, заметками или событиями, чтобы планировать их учебную программу, составлять наброски проектов и создавать руководства. Его параметры форматирования настраиваются, что обеспечивает контроль над вашей картой и помогает создавать уроки и оценки для поддержки обучения.

Для предприятий используйте генератор концептуальных карт Lucidchart, чтобы создавать идеи, которые сотрудники из разных отделов могут легко понять, в том числе нетехники. Используйте его, чтобы упростить существующие отношения, найти противоречия и пробелы, способствовать творческому пониманию и решению проблем и многое другое для достижения результатов.

Их шаблоны предназначены для четкой и быстрой иллюстрации мыслей. Вы можете упорядочивать фигуры и элементы, перетаскивая их, при этом соединяя основную тему и другие подтемы. Используйте разные цвета для идей, чтобы сделать их более понятными.

Вы можете настроить каждый аспект карты, включая изменение макета перед печатью, добавление снимков экрана и изображений для определенного сообщения и многое другое. В Lucidchart есть функции чата в редакторе и обновления в режиме реального времени для реализации идей, предложенных другими участниками.

Lucidchart позволяет интегрировать Google Workspace, чтобы вы могли поддерживать свою карту и получать к ней доступ в Интернете.

Creately

Простота Creately позволяет легко визуализировать ваши концепции. Он уже помог более 4 миллионам человек и тысячам команд. Приложив немного усилий, вы можете организовать элементы и визуализировать их.

Рисование даже очень сложной концептуальной карты не требует усилий с использованием расширенных функций Creately. Он предлагает интеллектуальные формы, соединители, встроенные параметры стиля, импорт изображений и многое другое.Поделитесь своими рисунками со своей командой, чтобы мгновенно получать обратную связь.

Creately предлагает тысячи высококачественных шаблонов для множества мыслимых сценариев для отделов маркетинга, ИТ, программного обеспечения, HR и образования. Независимо от того, используете ли вы macOS, Windows, Linux или Android, вы можете легко использовать Creately. Он также поставляется с 30-дневной гарантией возврата денег, поэтому вы можете попробовать его, не опасаясь потерять свои деньги.

SmartDraw

Создатель концептуальных карт от SmartDraw позволяет визуализировать концепции, не прерывая творческий процесс.Как только у вас появится идея, просто нарисуйте фигуру на концептуальной карте. Продолжайте добавлять идеи по мере поступления, потому что карта концепций существует, чтобы редактировать ее в любое время.

SmartDraw имеет интеллектуальные параметры форматирования, которые придают вашей карте профессиональный вид. Начните с простых команд, легко добавляйте или удаляйте идеи, выравнивайте и упорядочивайте формы. Вы получаете профессиональные темы, такие как оттенки серого, Everest, Calico и т. Д., Где вы можете применять цвета, шрифты и градиенты для работы в качестве профессионального дизайнера.

Вставляйте карты в отчеты; интегрируйте их с такими инструментами, как Microsoft Office, Google Workspace, Dropbox, Box, OneDrive, JIRA и другими. Вы даже можете подключить карты к Trello и проводить собрания, чтобы больше обсуждать идеи. Мгновенно конвертируйте карты в диаграммы Ганта одним щелчком мыши.

Все изменения, которые вы делаете на одной карте, автоматически отражаются на другой. У вас есть возможность поделиться своими файлами, отправив электронное письмо не пользователям SmartDraw со ссылкой.

Дзен-интеллектуальная карта

Zen Mind Map — это простой в использовании и простой инструмент для создания концептуальных карт.Его рабочее пространство не отвлекает, поскольку оно избегает боковых панелей и плавающих значков.

Дружественный и минималистичный интерфейс Zen позволяет быстрее и проще создавать продуманные карты. Они также удалили ненужные функции, которые загромождали и делали его громоздким. Сделайте концептуальные карты запоминающимися и интересными с помощью смайлов.

У вас есть возможность скачать файл PDF. Но вы также можете опубликовать документ в реальном времени, где внесенные изменения могут быть отражены автоматически. Включены различные шаблоны для бизнес-планирования, управления OKR, решения проблем, планирования эссе, назначения задач и маркетинга.

Миндомо

Структурируйте информацию по определенной теме, всесторонне нарисовав концептуальную карту в Mindomo. Расширьте границы своего воображения, полностью персонализируя и настраивая карту.

Нарисуйте все с нуля или используйте любой из своих шаблонов, включая управление рисками, математические подразделения, диаграмму рыбьей кости и многое другое. Вы можете редактировать такие элементы, как стрелки, а также их цвет, форму, узор и положение.

Высококачественная платформа позволяет вам сотрудничать с вашими средними участниками в режиме реального времени для повышения эффективности и экономии времени.Изменения отражаются мгновенно, и вы также можете отслеживать все внесенные изменения, используя «Историю воспроизведения».

Mindomo также поддерживает прямой чат, поэтому вам не придется тратить время или терять внимание при переключении сложных приложений. У него есть несколько вариантов обмена картами:

  • С определенными людьми
  • Только люди, с которыми вы поделились ссылкой для просмотра
  • Только люди, с которыми вы поделились ссылкой для редактирования
  • Общедоступный доступ

При желании вы можете передать концептуальную карту другим формы диаграмм, такие как диаграммы Ганта, интеллект-карты и контуры.

Mindomo поддерживает интеграцию с Google Classroom, Canvas, Schoology, Blackboard и другими.

Visual Paradigm Online

Visual Paradigm Online или VP Online поставляется с простым инструментом с редактором перетаскивания, который поможет вам создавать потрясающие концептуальные карты за считанные минуты. Благодаря интуитивной понятности вам не придется тратить время на изучение программного обеспечения; вместо этого все внимание уделяется проектированию.

Начните создавать карты с редактирования полностью настраиваемых и бесплатных шаблонов для социальных сетей, анализа данных, изменения климата, содержания курсов и многого другого.Он предоставляет 1700+ подобных шаблонов, и все они высокого качества.

Крышка DesignCap

У вас нет опыта в дизайне, но есть необходимость в разработке концептуальных карт?

Не беспокойтесь!

Попробуйте бесплатное программное обеспечение для картографирования от DesignCap, чтобы создавать потрясающие дизайны. Он имеет широкий спектр примеров карт из области медсестер, науки, биологии, клеточного дыхания и многого другого.

Все, что вам нужно сделать, это выбрать только один шаблон, который соответствует вашим требованиям, и приступить к изучению.DesignCap предлагает тысячи доступных ресурсов, таких как графика, элементы дизайна и цвета, а также мощные возможности редактирования и шрифты.

Stemic

Stemic — это веб-приложение для создания концептуальных карт, позволяющее пользователю переносить свои идеи на цифровую доску, чтобы схематизировать ситуации, проблемы или проблемы в форме графика.

Бесплатная версия позволяет делать заметки, систематизировать идеи, связывать их друг с другом, рисуя ссылки, как на классической интеллект-карте.

Но Stemic — это не просто инструмент для мозгового штурма!

Stemic раздвигает границы интеллекта, позволяя пользователям описывать объекты, которыми они манипулируют, классифицировать их, определять характер и направление ссылок и т. Д. Таким образом, он помогает пользователю проводить анализ, моделировать свои знания, структурировать его мысль.

Интерфейс минимален, дизайн доработан, чтобы привлечь внимание пользователей к анализу. Взаимодействие, плавное и интуитивно понятное, было разработано для облегчения манипулирования данными и поддержки мышления.

Stemic также предлагает профессиональное предложение для пользователей, желающих воспользоваться наиболее продвинутыми функциями приложения, включая совместное редактирование концептуальных карт, копирование общей карты, использование гиперссылок, настраиваемый экспорт (обрамление, тема, заголовок и легенда) карты.

Заключение

Организованные идеи позволяют учащимся или даже бизнесменам понять концепцию, разбивая ее на несколько частей. Воспользуйтесь эффективным инструментом сопоставления концепций, чтобы лучше понять ваши темы и использовать полученные знания в дальнейшем обучении или работе в бизнесе.

Концептуальные карты

— Учебный центр

Что такое концептуальные карты?

Концептуальные карты — это визуальные представления информации. Они могут иметь форму диаграмм, графических органайзеров, таблиц, блок-схем, диаграмм Венна, временных шкал или T-диаграмм. Концептуальные карты особенно полезны для учащихся, которые лучше учатся визуально, хотя они могут принести пользу любому типу учащихся. Это мощная стратегия обучения, потому что они помогают вам увидеть общую картину: начиная с концепций более высокого уровня, концептуальные карты помогают вам разбивать информацию на части на основе значимых связей.Другими словами, зная общую картину, детали становятся более значимыми и легче запоминаются.

Концептуальные карты очень хорошо подходят для классов или контента, которые имеют визуальные элементы, или в тех случаях, когда важно видеть и понимать отношения между разными вещами. Их также можно использовать для анализа информации, сравнения и сопоставления.

Создание и использование концептуальных карт

Сделать один — просто. Не существует правильного или неправильного способа составить концептуальную карту. Один из ключевых шагов — сосредоточиться на том, как идеи связаны друг с другом.Чтобы получить несколько идей о том, как начать работу, возьмите лист бумаги и попробуйте выполнить следующие шаги:

  • Определите концепцию.
  • По памяти попробуйте создать графический органайзер, связанный с этой концепцией. Начать с памяти — отличный способ оценить, что вы уже понимаете и что вам нужно повторить.
  • Просмотрите конспекты лекций, чтения и любые другие ресурсы, которые могут вам понадобиться, чтобы заполнить пробелы.
  • Сосредоточьтесь на том, как концепции связаны друг с другом.

Ваша законченная концептуальная карта — отличный инструмент для изучения.При обучении попробуйте следующие шаги:

  • Проработайте (вслух или письменно) каждую часть карты.
  • Перечислите соответствующие примеры, если применимо, для разделов карты.
  • Воссоздайте свою концептуальную карту, не глядя на оригинал, обсуждая каждый раздел, как вы.

Примеры концептуальных карт

Пример 1: Этот пример иллюстрирует сходства и различия между двумя идеями, такими как последовательные и параллельные схемы. Обратите внимание, что сходство находится на пересечении двух кругов.

Пример 2: Этот пример иллюстрирует взаимосвязь между идеями, которые являются частью процесса, например пищевой цепочки.

Пример 3: Этот пример иллюстрирует взаимосвязь между основной идеей, такой как изменение климата, и вспомогательными деталями.

Пример 4: Наброски — менее наглядная форма отображения концепций, но, возможно, вам лучше всего знакома. Изложение, начиная с общих концепций курса, а затем углубляясь в детали, — отличный способ определить, что вы знаете (и чего не знаете), когда учитесь.Создание плана для начала обучения позволит вам оценить свою базу знаний и выяснить, какие пробелы вам необходимо заполнить. Вы можете ввести свой план или создать рукописный план с цветовой кодировкой, как показано в Примере 5.

Дополнительные стратегии обучения

Концептуальная карта — это один из инструментов, который вы можете использовать для эффективного обучения, но есть много других эффективных стратегий обучения. Ознакомьтесь с этими ресурсами и поэкспериментируйте с несколькими другими стратегиями в сочетании с картированием концепций.

Назначьте встречу с академическим тренером, чтобы попрактиковаться в использовании концептуальных карт, составить план обучения или обсудить любые академические вопросы.

Посетите семинар по стратегиям обучения, чтобы узнать о дополнительных возможностях, попрактиковаться и поговорить с тренером.

Чем могут помочь технологии?

Вы можете создавать виртуальные концептуальные карты с помощью таких приложений, как Mindomo, TheBrain и Miro. Возможно, вас заинтересуют функции, которые позволят вам:

  • Подключайте ссылки, вставляйте документы и мультимедиа, а также интегрируйте заметки в свои концептуальные карты
  • Поиск на картах по ключевым словам
  • Взгляните на свои концептуальные карты с разных точек зрения
  • Преобразование карт в контрольные списки и схемы
  • Добавьте фотографии ваших рукописных карт

Отзывы

Узнайте больше о том, как тренер Центра письма использует TheBrain для создания концептуальных карт, в нашем блоге TheBrain и Zotero: Tech for Research Efficiency.

Консультации по работам

Holschuh, J. и Nist, S. (2000). Активное обучение: стратегии успеха в колледже. Массачусетс: Аллин и Бэкон.


Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 License.
Вы можете воспроизвести его для некоммерческого использования, если вы используете весь раздаточный материал и указываете источник: Учебный центр, Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл

Если вам нравится использовать наши раздаточные материалы, мы ценим вклад в благодарность.

Сделать подарок

Entity Relationship Diagram (ERD) — Что такое ER-диаграмма?

Что такое диаграмма отношений сущностей (ERD)?

Диаграмма отношений сущностей (ERD) показывает отношения наборов сущностей, хранящихся в базе данных. Сущность в этом контексте — это объект, компонент данных.
Набор сущностей — это набор похожих сущностей. Эти объекты могут иметь атрибуты, определяющие его свойства.

Благодаря определению сущностей, их атрибутов и отображению взаимосвязей между ними диаграмма ER иллюстрирует логическую структуру баз данных.

Диаграммы

ER используются для наброска дизайна базы данных.

Документирование существующей базы данных с использованием данных

Есть две причины для создания диаграммы базы данных. Вы либо разрабатываете новую схему, либо вам нужно задокументировать существующую структуру.

Если у вас есть существующая база данных, которую необходимо задокументировать, вы создаете диаграмму базы данных, используя данные непосредственно из вашей базы данных.Вы можете экспортировать структуру своей базы данных в виде файла CSV (здесь есть несколько сценариев, как это сделать), а затем попросите программу автоматически сгенерировать ERD.

Это будет наиболее точный портрет вашей базы данных и не потребует рисования с вашей стороны.

Вот пример очень простой структуры базы данных, созданной из данных.

Если вы хотите создать новый план, вы также можете отредактировать сгенерированную диаграмму и совместно со своей командой внести изменения.

Узнайте больше о создании диаграмм ER на основе данных автоматически с помощью расширения SmartDraw ERD.

История диаграмм взаимоотношений сущностей

Питер Чен разработал ERD в 1976 году. С тех пор Чарльз Бахман и Джеймс Мартин внесли некоторые небольшие уточнения в основные принципы ERD.

Общие символы диаграммы взаимосвязи сущностей

ER-диаграмма — это средство визуализации взаимосвязи информации, производимой системой. ERD состоит из пяти основных компонентов:

  • Сущности, представленные прямоугольниками.Сущность — это объект или концепция, информацию о которых вы хотите сохранить.

    Слабая сущность — это сущность, которая должна определяться отношениями внешнего ключа с другой сущностью, поскольку она не может быть однозначно идентифицирована только своими собственными атрибутами.

  • Действия, представленные в виде ромбов, показывают, как два объекта обмениваются информацией в базе данных.

    В некоторых случаях сущности могут быть связаны между собой. Например, сотрудники могут контролировать других сотрудников.

  • Атрибуты, представленные овалами. Ключевой атрибут — это уникальная отличительная характеристика объекта. Например, номер социального страхования сотрудника может быть ключевым атрибутом сотрудника.
    Многозначный атрибут может иметь несколько значений. Например, у организации-сотрудника может быть несколько значений навыков.

    Производный атрибут основан на другом атрибуте. Например, ежемесячная зарплата сотрудника основана на годовой зарплате сотрудника.

  • Соединительные линии, сплошные линии, которые соединяют атрибуты, чтобы показать отношения сущностей на диаграмме.
  • Количество элементов определяет, сколько экземпляров объекта относится к одному экземпляру другого объекта. Ординальность также тесно связана с количеством элементов. В то время как количество элементов определяет возникновение отношения, порядковый номер описывает отношения как обязательные или необязательные. Другими словами, количество элементов определяет максимальное количество отношений, а порядковое значение определяет абсолютное минимальное количество отношений.
    Есть много стилей обозначений, которые выражают количество элементов.
    Информационный инженерный стиль
    Стиль Чен
    Стиль Бахмана
    Стиль Мартина

ERD Разъяснение

Посмотрите это короткое видео, чтобы узнать больше о схемах ERD и их компонентах.

Схема

ER использует

При документировании системы или процесса взгляд на систему с разных сторон улучшает понимание этой системы. Диаграммы ERD обычно используются вместе с диаграммой потока данных для отображения содержимого хранилища данных.Они помогают нам визуализировать, как данные связаны в общем виде, и особенно полезны для построения реляционной базы данных.

Учебное пособие по диаграмме отношений между сущностями

Вот несколько практических советов по созданию ERD:

  • Укажите сущности. Первым шагом в создании ERD является определение всех сущностей, которые вы будете использовать. Сущность — это не что иное, как прямоугольник с описанием того, о чем ваша система хранит информацию.Это может быть клиент, менеджер, счет, график и т. Д. Нарисуйте прямоугольник для каждой сущности, которую вы можете придумать на своей странице. Держите их немного на расстоянии.
  • Определите отношения. Посмотрите на две сущности, связаны ли они? Если да, нарисуйте сплошную линию, соединяющую два объекта.
  • Опишите отношения. Как связаны сущности? Нарисуйте ромб действия между двумя объектами на только что добавленной линии. Напишите в ромбе краткое описание того, как они связаны.
  • Добавить атрибуты. Любые ключевые атрибуты сущностей следует добавлять с помощью символов овальной формы.
  • Заполните схему. Продолжайте соединять объекты линиями и добавлять ромбы для описания каждой связи, пока не будут описаны все связи. Каждая из ваших сущностей может не иметь никаких отношений, а у некоторых может быть несколько отношений. Это нормально.

Советы по созданию эффективных диаграмм ER

  1. Убедитесь, что каждый объект появляется на диаграмме только один раз.
  2. Назовите каждую сущность, взаимосвязь и атрибут на диаграмме.
  3. Внимательно изучите отношения между сущностями. Они нужны? Не хватает каких-то отношений? Устраните любые избыточные отношения. Не связывайте отношения друг с другом.
  4. Используйте цвета, чтобы выделить важные части диаграммы.

Примеры диаграмм взаимоотношений сущностей

Просмотрите всю коллекцию примеров и шаблонов ERD SmartDraw

Что такое диграф взаимоотношений? Диаграмма отношений

Глоссарий качества Определение: диаграмма взаимосвязей

Также называется: диаграмма взаимосвязей, диаграмма отношений или орграф, сетевая диаграмма

Вариант: матричная диаграмма

Диаграмма взаимосвязи определяется как новый инструмент планирования управления, который отображает взаимосвязь между факторами в сложной ситуации.Диаграмма взаимосвязи показывает причинно-следственные связи. Его основная цель — помочь определить отношения, которые нелегко распознать.

Диаграмма взаимосвязей граничит с инструментом для выявления первопричин, но в основном она используется для определения логических взаимосвязей в сложной и запутанной проблемной ситуации. В таких случаях сильной стороной диаграммы взаимосвязей является ее способность визуализировать такие взаимосвязи. Процесс создания диаграммы взаимосвязей может помочь группам проанализировать естественные связи между различными аспектами сложной ситуации.

Когда использовать диаграмму взаимоотношений

  • При попытке понять связи между идеями или причинно-следственными отношениями, например, при попытке определить область наибольшего воздействия на улучшение
  • Когда сложная проблема анализируется на предмет причин
  • При внедрении комплексного решения
  • После создания диаграммы сходства, диаграммы рыбьей кости или древовидной диаграммы для более полного изучения взаимосвязей идей
  • При анализе первопричин, особенно для:
    • Понимание того, как связаны разные аспекты проблемы
    • Видеть взаимосвязь между проблемой и ее возможными причинами, которые могут быть проанализированы дальше

Схема взаимосвязей Основная процедура

Необходимые материалы: стикеры или карточки, большая бумага (газетная бумага или две страницы флипчарта, склеенные вместе), маркеры и скотч.

  1. Напишите заявление, определяющее проблему, которую будет исследовать диаграмма взаимосвязи. Напишите это на карточке или стикере и положите на верхнюю часть рабочей поверхности.
  2. Проведите мозговой штурм и запишите их на карточках или в заметках. Если этому предшествовал другой инструмент, возьмите идеи из диаграммы сходства, самого подробного ряда древовидной диаграммы или последних ветвей на диаграмме «рыбья кость». Если это полезно, используйте эти идеи в качестве отправных точек и придумайте дополнительные идеи.
  3. Поместите по одной идее на рабочую поверхность и спросите: «Связана ли эта идея с другими?» Поместите связанные идеи рядом с первым. Оставьте пространство между карточками, чтобы можно было рисовать стрелки позже. Повторяйте, пока все карточки не окажутся на рабочей поверхности.
  4. Для каждой идеи спросите: «Эта идея вызывает или влияет на любую другую идею?» Нарисуйте стрелки от каждой идеи к той, которую она вызывает или на которую влияет. Повторите вопрос для каждой идеи.
  5. Проанализировать диаграмму:
    • Считайте стрелки внутрь и наружу для каждой идеи.Напишите количество в нижней части каждого поля. Те, у которых больше всего стрелок, являются ключевыми идеями.
    • Обратите внимание, какие идеи имеют в основном исходящие (исходящие) стрелки. Это основные причины.
    • Отметьте, какие идеи имеют в первую очередь входящие стрелки. Это конечные эффекты, которые также могут иметь решающее значение.

Помните, количество стрелок — это только показатель, а не абсолютное правило. Обязательно проверьте, являются ли идеи с меньшим количеством стрелок ключевыми.Обведите жирными линиями ключевые идеи.

Создание диаграммы взаимосвязи для анализа первопричин

  1. Определите факторы, которые необходимо проанализировать на предмет возможных взаимосвязей, и обозначьте их, используя краткие и емкие определения.
  2. Нанесите коэффициенты на пустую таблицу на доске, желательно примерно круглой формы.
  3. Оцените, что влияет на каждый фактор и на какие факторы он влияет, и проиллюстрируйте взаимосвязи с помощью стрелок.
  4. После оценки всех взаимосвязей подсчитайте количество стрелок, указывающих на каждый фактор и от него, и обозначьте эту информацию на диаграмме.
  5. В зависимости от количества стрелок, указывающих в каждом направлении для фактора, он может играть одну из двух ролей: драйвер (больше стрелок от, чем внутрь), или индикатор (больше стрелок внутрь, чем от).
  6. При продолжении анализа первопричин драйверы образуют отправную точку.

Инструменты для создания диаграммы взаимосвязей

Пример # 1 диаграммы взаимосвязи

Группа компьютерной поддержки планирует крупный проект: замена мэйнфрейма.Группа нарисовала диаграмму взаимосвязей (см. Рисунок 1), чтобы разобраться в запутанном наборе элементов, задействованных в этом проекте.

Рисунок 1: Схема взаимосвязей

«Проект замены компьютера» — это карточка, указывающая на проблему. Идеи, которые были обсуждены, представляли собой смесь шагов, проблем, желаемых результатов и менее желательных эффектов, которые нужно было обработать. Все эти идеи вместе вошли на диаграмму. По мере того, как задавались вопросы об отношениях и причинах, смесь идей начала выясняться.

После того, как были нарисованы все стрелки, стали ясны ключевые проблемы. Они выделены жирными линиями.

  • «Новое программное обеспечение» имеет одну стрелку внутрь и шесть стрелок наружу. «Установить новый мэйнфрейм» имеет одну стрелку внутрь и четыре стрелки наружу. Обе идеи являются основными причинами.
  • «Перебои в обслуживании» и «увеличение стоимости обработки» имеют три стрелки внутрь, и группа определила их как ключевые эффекты, которых следует избегать.

Пример диаграммы взаимосвязи 2

Небольшая больница была обеспокоена производительностью своих врачей, потому что они были самыми дорогими сотрудниками и имели решающее значение для лечения пациентов.Предприняв множество шагов для обеспечения высокой производительности, руководство больницы было сбито с толку, когда производительность неуклонно снижалась месяц за месяцем.

Поскольку такое развитие событий было необъяснимо, руководство стремилось разобраться в причинах и следствиях различных действующих факторов. Они решили создать диаграмму взаимосвязей и включить в анализ следующие факторы:

  • Количество назначений на одного врача
  • Количество приемов неотложной помощи на одного врача
  • Административная нагрузка на врача
  • Количество изменений плановых назначений
  • Качество и надежность оборудования
  • Наличие медсестры
  • Наличие других вспомогательных функций
  • Уровень оплаты труда врачей

Когда была составлена ​​диаграмма взаимосвязей (рис. 2), внимание переключилось с улучшения условий работы врачей на обеспечение наличия медсестер, других вспомогательных функций и операционного оборудования.

Рисунок 2: Схема взаимосвязей

По материалам The Quality Toolbox, Second Edition и «Анализ первопричин: упрощенные инструменты и методы», ASQ Quality Press.

Руководство по символам блок-схемы, от базового до расширенного

4 Основные символы блок-схемы для создания блок-схемы

Пытаетесь ли вы прочитать блок-схему или создать блок-схему, знание наиболее распространенных символов блок-схемы и условных обозначений сделает ее намного проще. Здесь у нас есть четыре символа блок-схемы, которые вы должны знать, а также краткое изложение некоторых дополнительных символов промежуточных процессов, если вы хотите получить дополнительную оценку.

1. Овал

Конец или начало при создании блок-схемы

Овал или терминатор используется для обозначения начала и конца процесса. Используйте инструмент блок-схемы Gliffy, чтобы перетащить одного из этих плохих парней, и вы получите начало блок-схемы. Не забудьте снова использовать тот же символ, чтобы показать, что ваша блок-схема завершена.

2. Прямоугольник

Шаг в процессе построения блок-схемы

Прямоугольник — это символ, к которому вы переходите после того, как вы начали построение блок-схемы.Он представляет собой любой этап процесса, который вы составляете на диаграмме, и является рабочей лошадкой блок-схемы. Используйте прямоугольники, чтобы фиксировать шаги процесса, такие как основные задачи или действия в вашем процессе.

3. Стрелка

указывает направление потока

Стрелка используется, чтобы направлять зрителя по пути его блок-схемы. И хотя есть много разных типов стрелок на выбор, мы рекомендуем придерживаться одного или двух для всей блок-схемы. Это сохраняет вашу диаграмму чистой, но также позволяет выделить определенные этапы вашего процесса.

4. Алмаз

Укажите решение

Ромб символизирует необходимость принятия решения для продвижения вперед. Это может быть двоичный, тот или иной выбор или более сложное решение с множественным выбором. Убедитесь, что вы зафиксировали каждый возможный выбор на своей диаграмме.

С этими четырьмя основными символами у вас, вероятно, есть все необходимое для начала работы над собственной блок-схемой! Попробуйте создать блок-схему с помощью бесплатной пробной версии Gliffy или прочитайте дополнительную информацию о промежуточных символах блок-схемы.

Начать бесплатную пробную версиюAtlassian Apps

Промежуточные и расширенные символы блок-схемы

Как вы знаете, блок-схемы состоят из последовательности действий, данных, услуг и / или материалов. Они показывают, где данные вводятся и выводятся, где хранится информация, какие решения необходимо принять и каких людей нужно задействовать. В дополнение к основным соглашениям, правилам и символам блок-схемы, эти промежуточные символы блок-схемы помогут вам описать ваш процесс еще более подробно.

Символы документа

Значки одного и нескольких документов показывают, что в вашей блок-схеме есть дополнительные точки отсчета. Вы можете использовать их для обозначения таких пунктов, как «создать счет» или «просмотреть документы по тестированию».

Символы данных

Символы данных показывают, где хранятся данные, на которые ссылается ваша потоковая диаграмма. (Вероятно, вы не будете использовать символ бумажной ленты, но он определенно пригодился в свое время.)

Символы ввода и вывода

Символы ввода и вывода показывают, где и как данные поступают и выводятся на протяжении всего процесса. .

Объединение и соединение символов

Согласованные символы объединения и соединителя упрощают соединение блок-схем, охватывающих несколько страниц.

Дополнительные полезные символы блок-схемы

Выше приведены несколько дополнительных символов, которые доказывают ваше мастерство в построении блок-схемы при правильном использовании.

Другие типы нотации

Хотя все вышеперечисленное является примерами общих форм блок-схемы, вы можете использовать другой тип нотации моделирования, который включает более конкретные варианты использования и более конкретные формы для соответствия.