4 х 2 25:  4х^2-25=0 решите уравнение  — Школьные Знания.com

Формулы сокращенного умножения

У нас есть сумма (разница) двух чисел и нам необходимо избавиться от скобок, используя
формулы для сокращенного умножения:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x — y)2 = x2 — 2xy + y2

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)2 = 102 + 2.10.5a + (5a)2 = 100 + 100a + 25a2
(10 — 4)2 = 102 — 2.10.4 + 42 = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a2 = 52 + 2.2.5 + (2a)2 = (5 + 2a)2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x — y)3 = x3 — 3x2y + 3xy2 — y3

Пример: (1 + a2)3 = 13 + 3.12.a2 +
3.1.(a2)2 + (a2)3 = 1 + 3a2 + 3a4 + a6

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)2 = x2 + y2 + z2 — 2xy — 2xz + 2yz


x2 — y2 = (x — y)(x + y)

x2 + y2 = (x + y)2 — 2xy
или
x2 + y2 = (x — y)2 + 2xy

Пример: 9a2 — 25b2 = (3a)2 — (5b)2 =
(3a — 5b)(3a + 5b)

x3 — y3 = (x — y)(x2 + xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)(x2 — xy + y2)

Если n есть натуральное число

xn — yn = (x — y)(xn-1 + xn-2y +. 2})

х = х =1 4 (- 7 + 3 17 ± — 2 + 42 17) \ frac {1} {4} (- 7 + 3 \ sqrt {17} \ pm \ sqrt {-2 + 42 \ sqrt {17}})

Просто. Это дает еще два реальных решения,х ≈ 4,613 х \ около 4,613 их ≈ — 1,928. х \ около -1,928. Опять же, каждый другойу у.

Как насчет этого сложного решения? Это изs = — 7 — 3 17 2 s = \ frac {-7 — 3 \ sqrt {17}} {2}

х = х =1 4 (- 7 — 3 17 ± i 2 + 42 17) \ frac {1} {4} (- 7 — 3 \ sqrt {17} \ pm i \ sqrt {2 + 42 \ sqrt {17}})

Это два более сложных корня,x ≈ — 4.842 ± 3.309 i x \ приблизительно -4.842 \ pm 3.309 i

Хорошо, мы нашли шесть корней. Они приходят как триx, y x, y пары, которые вы можете поменять местами из-за симметрии задачи.

Логарифмические уравнения

   Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений». В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение:

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Основное логарифмическое тождество:

Например:

 log39 = 2, так как  32 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения:  log3(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  logba = x   bx = a,  то

34 = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log3(4–(–77)) = 4

log381 = 4

34 = 81  Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log(4 – x) = 7

Посмотреть решение

Найдите корень уравнения log5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как   logab = x       bx = a,   то

52 = 4 + x

x =52 – 4

x = 21

Проверка:

log5(4 + 21) = 2

log525 = 2

52 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения  log3(14 – x) = log35.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

 Если    logca = logcb,   то  a = b

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log5(5 – x) = log53.

Посмотреть решение

Найдите корень уравнения: log4(x + 3) = log4(4x – 15).

Если   logca = logcb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения   log1/8(13 – x) = – 2.

(1/8)–2 = 13 – x

82 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени (отрицательная степень дроби).

Ответ: – 51

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log1/7(7 – x) = – 2

Посмотреть решение

Найдите корень уравнения  log(4 – x) = 2 log5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

logabm = m∙logab

log2(4 – x) = log252

Если    logca = logcb,   то  a = b

4 – x = 52

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log5(5 – x) = 2 log3

Посмотреть решение

Решите уравнение   log5(x2 + 4x) = log5(x2 + 11)

Если    logca = logcb,   то  a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log5(x2 + x) = log5(x2 + 10).

Посмотреть решение

Решите уравнение   log2(2 – x) = log2(2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log2 (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log2

Далее применяем свойство:

logс(ab) = logсa + logсb

log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + log22

Получаем:

log2(2 – x) = log2 2 (2 – 3x)

Если    logca = logcb,   то  a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log5(7 – x) = log5(3 – x) +1

Посмотреть решение

Решите уравнение logх–125 = 2.  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

(x – 1)2= 25

Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати, квадратное уравнение, как вы поняли, это очень важная «буковка» в математической азбуке. К нему сводятся очень многие решения совершенно различных задач. Помнить формулы дискриминанта и корней нужно обязательно, и уметь решать такое уравнение вы должны очень быстро, периодически практикуйтесь.

Конечно же, опытный глаз сразу увидит, что в нашем примере выражение, стоящее под знаком квадрата равно 5 или – 5, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 25, устно можно посчитать:

корни равны 6  и  – 4.

Корень  «–4» не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при  «– 4» оно равно «–5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

Решите уравнение logx–5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Посмотреть решение

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать  свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Квадратные уравнения 8 класс | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов

ВАРИАНТ 1
1) х2 + 5х = 02) х2 – 4 = 03) 3х + 2х2 – 5 = 04) х2 + 2 + 3х = 05) х2 + 4х + 4 = 06) 3х2 + 8х = 3 7) 6а2 + 2 = 6а
ВАРИАНТ 2
1) 2х2 + х + 67 = 02) 4х + х2 = 03) 3х2 – 27 = 04) 5х2 = 3х + 25) х2 + 8+ 6х = 06) 9 + х2 = 6х7) 3у2 + 4у = 4
ВАРИАНТ 3
1) 8х2 + 5 = 14х2) 4х2 = 2х – 33) х2 + 2х = 04) 6х2 – 12 = 05) 3х2 + 45 – 24х = 06) 4х + 4х2 + 1 = 07) 3у2 + 7у – 6 = 0
ВАРИАНТ 4
1) 12х2 + 16х = 32) 21х2 = 5х – 13) х2 – 3х = 04) 2х2 – 72 = 05) 8х2 – 3 = 5х6) х2 = 18 – 3х7) 9у2 + 12у + 4 = 0
ВАРИАНТ 5
1) 1 + 8х + 16х2 = 02) 5х2 + 26х = 243) 7х2 – 2х + 12 = 04) 3х2 – 5х = 05) 6 – 2х2 = 06) 5х2 + 2 + 7х = 07) t 2 = 35 – 2t

ВАРИАНТ 6
1) х2 + 10х = 02) –х2 + 9 = 03) 25х2 + 17 = 42х4) х2 = х + 65) 4х2 – 4х + 1 = 06) 9х2 = 4 – 16х7) 6а2 + 14 = 2а
ВАРИАНТ 7
1) 6х2 + 3х + 4 = 02) 7х2 – 14х = 03) 25 – х2 = 04) х2 + 2х = 35) 25х2 + 20х + 4 = 06) 9х2 + 12 = 39х7) 12b2 = 16b + 3
ВАРИАНТ 8
1) 5х2 = 22х + 152) 3х2 + 9 = 10х3) х2 – 2х = 04) 121 – х2 = 05) 3х – 6 + 3х2 = 06) 2х2 = 4х + 307) 14c + 49c2 + 1 = 0
ВАРИАНТ 9
1) 15х2 + 4 = 16х2) 7х2 = 4х – 33) 2х – 5х2 = 04) 5х2 – 20 = 05) 7х + 3 + 4х2 = 06) х2 – 9х + 18 = 07) 16k2 + 9 – 24k = 0
ВАРИАНТ 10
1) 10х + 25 + х2 = 02) 5х2 = 8х + 43) 3х2 + 4 = 6х4) 3х + 2х2 = 05) 288 – 2х2 = 06) х + 8х2 – 9 = 07) n2 – 2n = 35

ВАРИАНТ 11
1) х2 = 3х + 182) 9х2 + 16 = 24х3) 3х2 – 13х + 14 = 04) 5х2 = 16х – 35) х + 6х2 + 15 = 06) х2 – 7х = 07) 3a2 – 21 = 0
ВАРИАНТ 12
1) х2 – 40 = 3х2) 4х2 = 28х – 493) 3х2 + 5 – 16х = 04) 10 + 4х2 – 3х = 05) 2х2 – 6х = 06) 25 – 100х2 = 07) 3m2 + 12m = 15
ВАРИАНТ 13
1) 3х2 + 36 = 21х2) 25 + х2 + 10х = 03) 2х2 = х + 214) 3х2 – 8х + 4 = 05) 8 + 6х2 – х = 06) 3х – х2 = 07) 4 – 36а2 = 0
ВАРИАНТ 14
1) х2 = 14 – 5х2) 9 + 4х2 = 12х3) 14х2 = 5х + 14) 7х2 – 26х = 85) 12 + 3х2 + 2х = 06) 2х2 – 16х = 07) c2 – 144 = 0
ВАРИАНТ 15
1) 4 – 4х2 = 02) 16х2 + 22х = 383) х2 = 30 + х4) 16 – 8х + х2 = 05) 5х2 – 26х + 5 = 06) 10х2 + 5 + 3х = 07) 7b + b2 = 0

ВАРИАНТ 16
1) х2 + 18 + 9х = 02) 9х2 + 16 = 24х3) 7х2 + = 3 – 20х4) –6х2 + 8х – 10 = 05) х – 11х2 = 06) х2 – 0,04 = 07) 2n2 = 7n + 9
ВАРИАНТ 17
1) х2 + 3х = 402) 4х2 + 28х + 49 = 03) 9х2 + 6 = 21х4) 3х2 – 8 + 10х = 05) 14 + 5х2 – 10х = 06) 5х – х2 = 07) 169 – b2 = 0
ВАРИАНТ 18
1) х2 = 3х + 42) 2х2 + 20 = 14х3) 8х + х2 + 16 = 04) 8х2 – 26х = 75) 9х2 – 3х + 1 = 06) 18х2 – 9х = 07) 6k2 – 6 = 0
ВАРИАНТ 19
1) х2 – 5х = 142) 9 + 4х2 – 12х = 03) 2х2 – 9х – 5 = 04) 4х2 = 9 + 16х5) 3 + 4х2 – х = 06) х2 + х = 07) 8 – 2с2 = 0
ВАРИАНТ 20
1) 16 – 64х2 = 02) 5х2 + х = 43) х2 = 30 – х4) 4 + 9х2 – 12х = 05) 5х2 + 12 = 16х6) 1 + 5х2 + х = 07) 2a – 4a2 = 0

ВАРИАНТ 21
1) 9х + 8х2 = –12) 3 + 3х2 = 4х3) 25 – 10х + х2 = 04) 4х – 4х2 = 05) 3х2 – 12 = 06) 9х2 + 8 = 18х7) c2 + c = 6
ВАРИАНТ 22
1) 1 + 2х = 8х22) 20х + 25х2 = –43) 1 – 4х2 = 04) 3х – х2 = 05) 12 – 17х – 5х2 = 06) 7х – 4х2 = 157) 5 + n2 + 6n = 0
ВАРИАНТ 23
1) 1 – 9х2 = 02) 16 + 3х2 = 8х3) 18 – х2 + 3х = 04) –12х + 4 = – 9х25) 13х + 3х2 = –146) х2 – 3х = 07) 17a2 = 33 – 16a
ВАРИАНТ 24
1) –15 = 2х – х22) –15 – 2х2 = –11х3) 0,36 – х2 = 04) 16х = –х25) 10х2 + 2 = х6) 25х2 + 40х + 16 = 07) 4b + 7 = 3b2
ВАРИАНТ 25
1) 6 + 3х2 = 8х2) х2 = 0,043) х2 + 3х = 04) 4х – 3 = –7х25) 25 + 4х2 – 20х = 06) х2 = 16 + 6х7) 19m – 6m2 = 10

ВАРИАНТ 26
1) 9х = х22) 13х – 14 – 3х2 = 03) –12 = 11х + 5х24) –8х – 16х2 = 15) 32 + х2 = 12х6) 2х2 – 18 = 07) 11y2 + 7 + 18y = 0
ВАРИАНТ 27
1) 3х2 – х = 242) 4х2 = – 4х – 13) –25 = 10х + 2х24) 7х = 12 + х25) х2 = 4х6) 3х2 – 7 = 4х7) k2 – 25 = 0
ВАРИАНТ 28
1) 4 = 20х – 25х22) 2х = х23) 21х + 9х2 + 10 = 04) 4х2 = 365) 5 + 4х + х2 = 06) х2 – 12х + 32 = 07) 5 – 3а2 – 2а = 0
ВАРИАНТ 29
1) 9х = –2х2 – 102) х2 – 6х = 03) 11+ х2 + 6х = 04) 3 + х2 = 4х5) х2 – 1,21 = 06) 9х2 + 4 + 12х = 07) 7t 2 – 4t – 3 = 0
ВАРИАНТ 30
1) 10х + 24 = х22) 3х – х2 = 03) 2х2 – 50 = 04) 2х – 3 = 2х25) 1 = 10х – 25х26) 3х2 = – 8 + 11х7) b2 + 20 = 9b

ВАРИАНТ 31
1) 12х – 35 = х22) х2 – 11х = 423) 2 + 3х2 = 4х4) –24х = 9 + 16х25) 5х = х26) –х2 + 8 = 07) 17a = 12 + 6a2
ВАРИАНТ 32
1) 14х – х2 = 482) 6х – 1 = 9х23) 6х2 + 3 = – 7х4) 19х – 14 – 6х2 = 05) 9х2 = 46) х2 = 4х7) n2 = 11n – 10
ВАРИАНТ 33
1) 12х + 7х2 = –52) –2х – 1 = 4х23) 17х + 10х2 = 04) 5 – 11х = –2х25) 9х2 – 24х =
· 42 = 07) 20 + c2 + 9c = 0
ВАРИАНТ 34
1) –х2 = 35 + 12х2) 4х – х2 = 73) х2 – 5х = 844) 3 – 3х2 = 05) 7х + 12 – 12х2 = 06) 0 = 6х – х27) –4y2 – 25 = 20y
ВАРИАНТ 35
1) –6х – 2х2 = 92) 2 + 12х2 = 11х3) –9 – 4х2 + 12х = 04) 4 – 9х2 = 05) 10х + 25х2 = 86) х2 + 2,3х = 07) 13m + m2 + 36 = 0

ВАРИАНТ 36
1) –15 = – 3х22) –х2 = 2 + 2х3) 4 + 9х2 = –12х4) 14 – х – 3х2 = 05) х2 – 25х = 06) –8 = 18х – 5х27) p2 = 13p – 36
ВАРИАНТ 37
1) –4х + х2 = 02) 6х – 2х2 = 53) 16 + х2 = –8х4) 0,9 – х2 = 05) –2х = 7х2 – 56) х2 + 19х + 90 = 07) 3s2 + 8s = 3
ВАРИАНТ 38
1) 9х – х2 = 02) 7х + 10х2 +2 = 03) 4х2 – 9 = 04) 7х – 2х2 = 65) 40х – 25х2 = 76) 20х + 4х2 + 25 = 07) n2 + 5n – 84 = 0
ВАРИАНТ 39
1) 3х2 – х = 02) 10 – 7х – 3х2 = 03) х2 – 2х – 48 = 04) 24х – 9 = 16х25) 4х2 = 15 – 4х6) –1,2 = –0,2х27) k2 = 8k – 17
ВАРИАНТ 40
1) х2 – 16 = 02) 4х – х2 = 03) 12 + 3х2 = 20х4) 9х2 = –25 – 30х5) –3х2 – 6х = 46) 10х = –8х2 – 37) a2 + 12 – 7a = 0

ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 3
ВАРИАНТ 4
ВАРИАНТ 5
ВАРИАНТ 6
ВАРИАНТ 7
ВАРИАНТ 8
ВАРИАНТ 9
ВАРИАНТ 10

1) –5; 02) –2; 23) – 5/2; 14) –2; –15) –26) –3; 1/37) D 1) D 2) –4; 03) –3; 34) – 2/5; 15) –4; –26) 37) –2; 2/3
1) 1/2; 5/42) D 3) –2; 04) ± 13 EQ \R(;2) 155) 3; 56) – 1/27) –3; 2/3
1) – 3/2; 1/62) D 3) 0; 34) ± 65) – 3/8; 16) –6; 37) – 2/3
1) – 1/42) –6; 4/53) D 4) 0; 5/35) ± 13 EQ \R(;3 )156) –l; – 2/57) –7; 5
1) –10; 02) ± 33) 17/25; 14) –2; 35) 1/26) –2; 2/97) D 1) D 2) 0; 23) ± 54) –3; 15) – 2/56) 1/3; 47) – 1/6; 3/2
1) – 3/5; 52) D 3) 0; 24) ± 115) –2; 16) –3; 57) – 1/7
1) 2/5; 2/32) D 3) 0; 2/54) ± 25) –1; – 3/46) 3; 67) 3/4
1) –52) – 2/5; 23) D 4) – 3/2; 05) ± 126) – 9/8; l7) –5; 7

ВАРИАНТ 11
ВАРИАНТ 12
ВАРИАНТ 13
ВАРИАНТ 14
ВАРИАНТ 15
ВАРИАНТ 16
ВАРИАНТ 17
ВАРИАНТ 18
ВАРИАНТ 19
ВАРИАНТ 20

1) –3; 62) 4/33) 2; 7/34) 1/5; 35) D 6) 0; 77) ± 13 EQ \R(;7 )15
1) –5; 82) 7/23) 1/3; 54) D 5) 0; 36) ± 0,57) –5; 1
1) 3; 42) –53) –3; 7/24) 2/3; 25) D 6) 0; 37) ± 1/3
1) –7; 22) 3/23) – 1/7; 1/24) – 2/7; 45) D 6) 0; 87) ± 12
1) –1; 12) –19/8; 13) –5; 64) 45) 1/5; 56) D 7) –7; 0
1) –6; –32) 4/33) –3; 1/74) D 5) 0; 1/116) ± 0,27) –1; 9/2
1) –8; 52) – 7/23) 1/3; 24) –4; 2/35) D 6) 0; 57) ± 13
1) –1; 42) 2; 53) –44) – 1/4; 7/25) D 6) 0; 1/27) ± 1
1) –2; 72) 3/23) – 1/2; 54) – 1/2; 9/25) D 6) –1; 07) ± 2
1) ± 0,52) –1; 4/53) –6; 54) 2/35) 6/5; 26) D 7) 0; 1/2

ВАРИАНТ 21
ВАРИАНТ 22
ВАРИАНТ 23
ВАРИАНТ 24
ВАРИАНТ 25
ВАРИАНТ 26
ВАРИАНТ 27
ВАРИАНТ 28
ВАРИАНТ 29
ВАРИАНТ 30

1) – 1/8; –12) D 3) 54) 0; 15) ± 26) 2/3; 4/37) –3; 2
1) – 1/4; 1/22) – 2/53) ± 1/24) 0; 35) –4; 3/56) D 7) –5; –1
1) ± 1/32) D 3) –3; 64) 2/35) – 7/3; –26) 0; 37) – 33/17; 1
1) –3; 52) 5/2; 33) ± 0,64) –16; 05) D 6) – 4/57) –1; 7/3
1) D 2) ± 0,23) –3; 04) –1; 3/75) 5/26) –2; 87) 2/3; 5/2
1) 0; 92) 2; 7/33) D 4) – 1/45) 4; 86) ± 37) –1; – 7/11
1) – 8/3; 32) – 1/23) D 4) 3; 45) 0; 46) –1; 7/37) ± 5
1) 2/52) 0; 23) –5/3; –2/34) ± 35) D 6) 4; 87) – 5/3; 1
1) – 5/2; –22) 0; 63) D 4) 1; 35) ± 1,16) – 2/37) – 3/7; 1
1) –2; 122) 0; 33) ± 54) D 5) 1/56) 1; 8/37) 4; 5

ВАРИАНТ 31
ВАРИАНТ 32
ВАРИАНТ 33
ВАРИАНТ 34
ВАРИАНТ 35
ВАРИАНТ 36
ВАРИАНТ 37
ВАРИАНТ 38
ВАРИАНТ 39
ВАРИАНТ 40

1) 5; 72) –3; 143) D 4) – 3/45) 0; 56) ± 13 EQ \R(;8 )157) 4/3; 3/2
1) 6; 82) 1/33) D 4) 7/6; 25) ± 2/36) 0; 47) 1; 10
1) –1; – 5/72) D 3) – 1,7; 04) 1/2; 55) 4/36) ± 13 EQ \R(;7 )157) –5; –4
1) –7; –52) D 3) –7; 124) ± 15) – 3/4; 4/36) 0; 67) – 5/2
1) D 2) 1/4; 2/33) 3/24) ± 2/35) – 4/5; 2/56) –2,3; 07) –9; –4
1) ± 13 EQ \R(;5 )152) D 3) – 2/34) – 7/3; 25) 0; 256) – 2/5; 47) 4; 9
1) 0; 42) D 3) –44) ± 13 EQ \R(;0,9 )155) –1; 5/76) –10; –97) –3; 1/3
1) 0; 92) D 3) ± 3/24) 3/2; 25) 1/5; 7/56) – 5/27) –12; 7
1) 0; 1/32) – 10/3; 13) –6; 84) 3/45) – 5/2; 3/26) ± 13 EQ \R(;6 )157) D 1) ± 42) 0; 43) 2/3; 64) – 5/35) D 6) –3/4; –1/27) 3; 4

Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 315

Приложенные файлы

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением
с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это
значит, для каждого значения а найти значения
х, удовлетворяющие этому уравнению.



Пример 1. ах = 0

  1. Если а = 0, то 0х = 0


    х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =


    х = 0



Пример 2. ах = а

  1. Если а = 0, то 0х = 0


    х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =


    х = 1



Пример 3.

х + 2 = ах

х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней
нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =



Пример 4.

2 – 1) х = 2а2 + а – 3

(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)

(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0


х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2


Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а
соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.


Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =


Ответы:

  1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

  1. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

  1. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число,
кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

  1. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

  1. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

  1. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = -с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а
+ 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х = –

В случае а 1 выделим
те значения параметра, при которых Д
обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2
+ 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2
+ 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16


a =


a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет
действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1,
то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,


х = – = –


Пример 2. При каких значениях
параметра а уравнение


х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2
различных отрицательных корня?


Д = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2
– 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)


х1х2 = 9а – 5

По условию х1 < 0, х2 < 0 то
–2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0


В итоге4(а – 1)(а – 6) > 0

— 2(а + 1) < 0

9а – 5 > 0
а < 1: а > 6
а > — 1
а > 5/9

(Рис. 1)

< a
< 1, либо a > 6


Пример 3. Найдите значения а, при
которых данное уравнение имеет решение.

х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2
– 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а

2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0


а = 4

(Рис. 2)


Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах2
– (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2
+ 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а2
– 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10
– 3а – а2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х2 + х
– а = 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х2 +ах
+ 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы
один общий корень?


Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром


Пример 1.Найти все значения а,
при которых уравнение

9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х =
0 (1) имеет ровно два корня.


Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х,
получим равносильное уравнение

32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2)
примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0,
или

(у – 2)(у – а) = 0, откуда у1 =2, у2
= а.

Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х =
log32 , или х2 – хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д = log232 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х +
1/х = log3а, или х2 – хlog3а
+ 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда


Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а
< -2, то 0 < а < 1/9.


Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.


Пример 2. При каких значениях а
уравнение 2– (а – 3) 2х – 3а = 0
имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х1 = -3, х2
= а = >


а – положительное число.


Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25х – (2а + 5)*5х-1/х + 10а * 5-2/х
= 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный
корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4х — (5а-3)2х +4а2 – 3а =
0 имеет единственное решение?


Ответ:

  1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 < а
    3/4 и а = 1


Логарифмические уравнения с
параметром


Пример 1. Найти все значения а,
при которых уравнение

log4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.


Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х
> 0, х 1/4 (3)

х = у

ау2 –у + 1 = 0 (4)


Если а = 0, то –2у + 1 = 0

2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау2
– 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный
положительный корень х = 1, удовлетворяющий
условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4)
имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет
действительные корни разных знаков. Это условие
выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0
и 1/а < 0, т.е. при а < 0.


Пример 2. Найти все значения а,
при которых уравнение

log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x)
= log259 имеет решение.


Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53

(1) х + 2 – а = 3(а
– 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем
неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций у = 2 – а и
у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0;
2), где а0 < 0 и а0 – корень
уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)2

а2 – а – 1 = 0

а0 =

Ответ: < a
2


Дидактический материал

  1. Найдите, при каких значениях а уравнение log 3
    (9x + 9a3)= x имеет ровно
    два корня.
  2. Найдите, при каких значениях а уравнение log 2
    (4x – a) = x имеет единственный корень.
  3. При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а
    – 9х) = 0 не имеет корней.

Ответы:

  1. при а < 1/3 36
  2. при а = -1/4
  3. при а < -1/8


Литература


Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика.
Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

  • Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное
    изучение курса алгебры и математического
    анализа. – М.: Просвещение, 1990
  • Крамор В.С. Повторяем и систематизируем
    школьный курс алгебры и начал анализа. – М.:
    Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.
    Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л. Я. Алгебра и начала
    анализа. Решение экзаменационных задач. – М.:
    Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические
    материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение,
    2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи
    по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. –
    М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.:
    Экзамен, 2001–2008.
  • Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

          Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

          К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

          Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

    Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

          Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

    ax3 + bx2 + bx + a = 0,(1)

    где a, b – заданные числа.

          Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

          Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

    ax2 + (b – a) x + a = 0.

          Пример 1. Решить уравнение

    2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.(2)

          Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

          Ответ:.

    Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

          Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

    ax4 + bx3 + cx2 +
    + bx + a = 0,
    (3)

    а также уравнения вида

    ax4 + bx3 + cx2
    – bx + a = 0,
    (4)

    где a, b, c – заданные числа.

          Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

    (5)

          Преобразуем левую часть уравнения (5):

          В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

    (6)

          Если теперь обозначить

    (7)

    то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

    ay2 + by + c – 2a = 0.(8)

         Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

          Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

          Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

    (9)

          Преобразуем левую часть уравнения (9):

          В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

    (10)

          Если теперь обозначить

    (11)

    то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

    ay2 + by + c + 2a = 0.(12)

          Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

          Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

          Пример 2. Решить уравнение

    2x4 – 3x3 – x2
    – 3x + 2 = 0.
    (13)

          Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

    (14)

          Преобразуем левую часть уравнения (14):

          В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

    (15)

          Если теперь обозначить

    (16)

    то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

    2y2 – 3y – 5 = 0.(17)

          Решим уравнение (17):

    (18)

          В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

    которое решений не имеет.

          Во втором случае из равенства (16) получаем:

          Ответ:

          Пример 3. Решить уравнение

    6x4 – 25x3 + 12x2 +
    + 25x + 6 = 0.
    (19)

          Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

    (20)

          Преобразуем левую часть уравнения (20):

          В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

    (21)

          Если теперь обозначить

    (22)

    то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

    6y2 – 25y + 24 = 0.(23)

          Решим уравнение (23):

    (24)

          В первом случае из равенства (22) получаем:

          Во втором случае из равенства (22) получаем:

          Ответ:

    Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

          Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

    (25)

    где  a, b, c, d  – заданные числа.

          Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

    (26)

          Преобразуем левую часть уравнения (26):

          В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

          Если теперь обозначить

    (28)

    то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

    (29)

          Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

          Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

          Пример 4. Решить уравнение

    2x4 – 15x3 + 35x2
    – 30 x + 8 = 0.
    (30)

          Решение. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

    a = 2 ,      b =– 15,      
    c = 35,       d = – 30,

    и найдем значение выражения

          Поскольку

    то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x2. В результате получится уравнение

    (31)

          Преобразуем левую часть уравнения (31):

          В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

    (32)

          Если теперь обозначить

    (33)

    то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

    2y2 – 15y + 27 = 0.(34)

          Решим уравнение (34):

          В первом случае из равенства (33) получаем:

          Во втором случае из равенства (33) получаем:

          Ответ:

          На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    2-25- (4 * x) = 0

    Пошаговое решение:

    Шаг 1:

    Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

    1.1 Факторинг x 2 -4x-25

    Первый член is, x 2 его коэффициент равен 1.
    Средний член, -4x, его коэффициент равен -4.
    Последний член, «константа», равен -25

    Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -25 = -25

    Шаг-2: Найдите два множителя -25, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -4.

    -25 + 1 =-24
    -5 + 5 = 0
    -1 + 25 = 24

    Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
    Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители

    Уравнение в конце шага 1:
     x  2  - 4x - 25 = 0
     

    Шаг 2:

    Парабола, поиск вершины:

    2. 1 Найдите вершину y = x 2 -4x-25

    Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

    Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

    Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

    Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 2,0000

    Подставив в формулу параболы 2,0000 для x, мы можем вычислить координату y:
    y = 1,0 * 2,00 * 2,00 — 4,0 * 2,00 — 25,0
    или y = -29,000

    Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения по оси X:

    Корневой график для: y = x 2 -4x-25
    Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {2.00}
    Вершина в точке {x, y} = {2.00, — 29.00}
    x -Перехват (корни):
    Корень 1 при {x, y} = {-3.39, 0.00}
    Корень 2 при {x, y} = {7.39, 0.00}

    Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

    2.2 Решение x 2 -4x-25 = 0, заполнив квадрат.

    Добавьте 25 к обеим частям уравнения:
    x 2 -4x = 25

    А теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 4, разделите его на два, получив 2, и возведите его в квадрат, получив 4

    Добавьте 4 к обеим частям уравнения:
    В правой части мы имеем:
    25 + 4 или, (25/1) + (4/1)
    Общий знаменатель двух дробей равен 1 Сложение (25 / 1) + (4/1) дает 29/1
    Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем:
    x 2 -4x + 4 = 29

    Добавление 4 завершило левую часть в идеальный квадрат:
    x 2 -4x + 4 =
    (x-2) • (x-2) =
    (x-2) 2
    Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу. Поскольку
    x 2 -4x + 4 = 29 и
    x 2 -4x + 4 = (x-2) 2
    , то согласно закону транзитивности
    (x-2) 2 = 29

    Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1

    Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

    Обратите внимание, что квадратный корень из
    (x-2) 2 равен
    (x-2) 2/2 =
    (x-2) 1 =
    x-2

    Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 2.2.1 получаем:
    x-2 = √ 29

    Добавьте 2 к обеим сторонам, чтобы получить:
    x = 2 + √ 29

    Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
    x 2 — 4x — 25 = 0
    имеет два решения:
    x = 2 + √ 29
    или
    x = 2 — √ 29

    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

    2.3 Решение x 2 -4x-25 = 0 по квадратичной формуле.

    Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

    — B ± √ B 2 -4AC
    x = ————————
    2A

    В нашем случае A = 1
    B = -4
    C = -25

    Соответственно B 2 — 4AC =
    16 — (-100) =
    116

    Применение квадратичной формулы:

    4 ± √ 116
    x = —————
    2

    Можно ли упростить √ 116?

    Да! Разложение на простые множители 116 равно
    2 • 2 • 29
    Чтобы иметь возможность удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).

    √ 116 = √ 2 • 2 • 29 =
    ± 2 • √ 29

    √ 29, округленное до 4 десятичных цифр, составляет 5,3852
    Итак, теперь мы смотрим на:
    x = (4 ± 2 • 5,385) / 2

    Два реальных решения:

    x = (4 + √116) / 2 = 2 + √ 29 = 7,385

    или:

    x = (4-√116) / 2 = 2-√ 29 = -3,385

    Было найдено два решения:

    1. x = (4-√116) / 2 = 2-√ 29 = -3,385
    2. x = (4 + √116) / 2 = 2 + √ 29 = 7. 385

    Факторинговые квадратные уравнения — методы и примеры

    Вы имеете представление о факторизации многочленов? Поскольку теперь у вас есть основная информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.

    Прежде всего, давайте кратко рассмотрим квадратное уравнение. Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R и a 0.Термин «а» называется старшим коэффициентом, а «с» — абсолютным членом f (x).

    Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно известных как корни уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

    По этой причине факторизация — фундаментальный шаг к решению любого уравнения в математике. Давай выясним.

    Как разложить квадратное уравнение на множители?

    Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.

    Чтобы решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации, используются следующие шаги:

    • Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
    • Переместите все члены в левую часть знака равенства.
    • Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
    • Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения

    Пример 1

    Решите: 2 (x 2 + 1) = 5x

    Решение

    Разверните уравнение и переместите все члены влево знака равенства.

    ⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0

    ⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0

    ⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

    ⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0

    Приравняем каждый множитель к нулю и решим

    ⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

    ⟹ x = 2 или x = 1212

    Следовательно, решения x = 2, 1/2.

    Пример 2

    Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0

    Решение

    3x 2 — 9x + x — 3 = 0

    ⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0

    ⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0

    ⟹ x = 3 или x = -13

    Пример 3

    Решите следующее квадратное уравнение (2x — 3) 2 = 25

    Решение

    Разверните уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить;

    ⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0

    ⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0

    Разделите каждый член на 4, чтобы получить;

    ⟹ x 2 — 3x — 4 = 0

    ⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

    ⟹ x = 4 или x = -1

    Существует множество методов факторизации квадратных уравнений. В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1.

    Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.

    Факторинг, когда коэффициент x

    2 равен 1

    Чтобы разложить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.

    ВАРИАНТ 1: Когда b и c положительны

    Пример 4

    Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0

    Перечислите множители 10:

    1 × 10, 2 × 5

    Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:

    1 + 10 ≠ 7
    2 + 5 = 7.

    Проверьте множители, используя распределительное свойство умножения.

    (x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10

    Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)

    Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

    x + 2 = 0 ⟹x = -2

    x + 5 = 0 ⟹ x = -5

    Следовательно, решение x = — 2, x = — 5

    Пример 5

    x 2 + 10x + 25.

    Решение

    Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.

    5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10

    Проверьте факторы.

    x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25

    = x (x + 5) + 5x + 25

    = x (x + 5) + 5 (x + 5)

    = (x + 5) (x + 5)

    Следовательно, x = -5 — это ответ.

    СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно

    Пример 6

    Решите x 2 + 4x — 5 = 0

    Решение

    Запишите множители -5.

    1 × –5, –1 × 5

    Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.

    1 — 5 ≠ 4
    –1 + 5 = 4

    Проверьте факторы, используя свойство распределения.

    (x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5
    (x — 1) (x + 5) = 0

    x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
    x + 5 = 0 ⇒ x = -5

    Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.

    ВАРИАНТ 3: Когда b и c отрицательны

    Пример 7

    x 2 — 5x — 6

    Решение

    Запишите множители — 6:

    1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

    Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:

    1 + (–6) = –5

    Проверьте коэффициенты, используя свойство распределения.

    (x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6

    Приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;
    (x + 1) (x — 6) = 0

    x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
    x — 6 = 0 ⇒ x = 6

    Следовательно, решение x = 6, x = -1

    СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно

    Пример 8

    x 2 — 6x + 8 = 0

    Решение

    Запишите все множители 8.

    –1 × — 8, –2 × –4

    Определите факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
    –1 + (–8) ≠ –6
    –2 + (–4) = –6

    Проверьте коэффициенты, используя распределительное свойство.

    (x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8

    Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;

    (x — 2) (x — 4) = 0

    x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
    x — 4 = 0 ⇒ x = 4

    Пример 9

    Разложить на множители x 2 + 8x +12.

    Решение

    Запишите множители 12;

    12 = 2 × 6 или = 4 × 3
    Найдите множители, сумма которых равна 8:

    2 + 6 = 8
    2 × 6 ≠ 8

    Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители;

    = x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

    = x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

    Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;

    (x + 6) (x + 2)

    x = -6, -2

    Факторинг, когда коэффициент x

    2 больше 1

    Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.

    Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.

    Пример 10

    Решите 2x 2 — 14x + 20 = 0

    Решение

    Определите общие множители уравнения.

    2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10)

    Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:

    –1 × –10, –2 × –5

    Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:

    1 + (–10) ≠ –7
    –2 + (–5) = –7

    Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.

    2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10)
    = 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20

    Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
    2 (x — 2) (x — 5) = 0

    x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
    x — 5 = 0 ⇒ x = 5

    Пример 11

    Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0

    Решение

    Запишите множители 7 и 11.

    7 = 1 × 7

    11 = 1 × 11

    Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:

    (7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11

    (7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11

    Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;

    7x 2 + 18x + 11 = 0
    (7x + 11) (x + 1) = 0

    x = -1, -11/7

    Пример 12

    Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3

    Решение

    2x 2 — 7x + 3 = 0

    (2x — 1) (x — 3) = 0

    x = 1/2 или x = 3

    Пример 13

    Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0

    Решение

    Разложить на множители, чтобы получить:

    (3x + 1) (3x + 1) = 0

    (3x + 1) = 0,

    Следовательно, x = −1 / 3

    Пример 14

    Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0

    Решение

    6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0

    Разложить выражение на множители;

    ⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

    ⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

    ⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

    ⟹ 3x = 2 или 2x = 1

    ⟹ x = 2/3 или x = ½

    Пример 15

    Разложить на множители x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0

    Решение

    Развернуть уравнение;

    x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0

    Разложить на множители;

    ⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

    x + 4) (x — 3y) = 0

    ⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

    ⟹ x = -4 или x = 3y

    Таким образом, x = -4 или x = 3y

    Практические вопросы

    Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:

    1. 3x 2 — 20 = 160 — 2x 2
    2. (2x — 3) 2 = 49
    3. 16x 2 = 25
    4. (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
    5. 2x 2 + x — 6 = 0
    6. 3x 2 = x + 4
    7. (x — 7) (x — 9) = 195
    8. x 2 — (a + b) x + ab = 0
    9. x 2 + 5x + 6 = 0
    10. x 2 — 2x — 15 = 0

    Ответы

    1. 6, -6
    2. -2, 5
    3. — 5/4, 5/4
    4. — 3, 3
    5. -2, 3/2
    6. -1, 4/3
    7. -6, 22
    8. a, b
    9. –3, –2
    10. 5, — 3
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    diffsqrs

    diffsqrs

    Факторинг

    Разность квадратов


    Вернуться к факторингу


    Бином может быть факторизован, только если это одна из трех вещей: разность квадратов, разность кубов или сумма кубов. Бином — это разница квадратов, если оба члена являются точными квадратами. Напомним, нам, возможно, сначала придется выделить общий фактор.

    Если мы определяем, что бином представляет собой разность квадратов, мы разлагаем его на два бинома. Первый — это квадратный корень из первого члена минус квадратный корень из второго члена. Второй — квадратный корень из первого члена плюс квадратный корень из второго члена, как в следующей формуле:


    Разложите на множители по каждому из следующих факторов.

    1. x 2 — 25: решение

    2. 16x 4 — 100: решение

    3. 50x 2 — 72: решение

    К началу


    Решение № 1

    1. x 2 — 25

    Сначала мы проверяем, что бином является разностью квадратов.
    x 2 — это идеальный квадрат, и 25, так что да, у нас есть разница квадратов.
    квадратный корень из x 2 равен x, а квадратный корень из 25 равен 5
    , поэтому наш ответ (x — 5) (x + 5)

    Назад к проблемам


    Решение №2

    2. 16x 4 — 100

    16x 4 — это идеальный квадрат, как и 100, поэтому у нас есть разница квадратов
    Здесь мы должны сначала вычесть общий множитель, если мы этого не сделаем, наш ответ не будет полностью учтено.
    Наш общий множитель равен 4, что дает нам 4 (4x 4 -25)
    , квадратный корень из 4x 4 равен 2x 2 , квадратный корень 25 равен 5.
    , поэтому наш ответ — 4 (2x 2 -5) (2x 2 + 5)

    Вернуться к проблемам


    № 3 решение

    3.50x 2 -72

    Здесь ни 50x 2 , ни 72 не являются полными квадратами, но мы должны сначала вычесть общий множитель
    , общий множитель равен 2, что дает нам 2 (25x 2 — 36)
    Теперь оба 25x 2 и 36 — идеальные квадраты, поэтому у нас есть разница квадратов.
    Квадратный корень из 25x 2 равен 5x, а квадратный корень из 36 равен 6.
    , поэтому наш ответ: 2 (5x — 6) (5x + 6)

    Назад к задачам


    Алгебраные ошибки

    Мы собрали здесь набор ошибок, которые довольно легко сделать.

    Постарайтесь избежать этого!

    Ошибка
    Исправление
    x 2 = 25, поэтому x = 5 x = 5 или x = −5
    (x − 5) 2 = x 2 -25 = (x − 5) (x − 5) = x 2 — 10x + 25
    √ (x 2 + y 2 ) = x + y √ (x 2 + y 2 ) максимально далеко
    x 2 x 4 = x 8 = x 6 (добавить экспоненты)
    (x 2 ) 4 = x 6 = x 8 (умножить показатели)
    2x -1 = 1 / (2x) = 2 / х
    −5 2 = 25 = −25 (сделать показатель перед минусом)
    (-5) 2 = -25 = +25 (делать скобки перед показателем)
    5 ½ = 1/5 2 = √5
    журнал (a + b) = журнал (a) + журнал (b) журнал (a + b) — это максимально возможное расстояние
    x (a / b) = xa / xb = xa / b
    x− (5 + a) = x − 5 + a = х-5-а

    И будьте осторожны с этими:

    Упрощение дробей

    хх + у = хх + ху

    Мы не можем это упростить!

    Представьте, что x = 4 и y = 5:

    44 + 5 = 49

    Это определенно не равно 44 + 45 (что на самом деле больше 1)

    Может быть, вы думали о такой дроби, которую мы можем упростить :

    x + yx = xx + yx

    Корень квадратный из xy

    √ (xy) = √x√y . .. но не всегда!

    Пример: x = −5 и y = −2

    √10 = √ (−5 × −2)

    = √ (−5) √ (−2) (ошибка)

    = i√5 × i√2

    = я 2 √5√2

    = −√10

    Итак, √10 = −√10 ??? Думаю, нет!

    √ (xy) = √x√y только тогда, когда x и y оба> = 0

    Два равных одному

    Пример:

    Начать с: x = y

    Умножаем обе стороны на x: x 2 = xy

    Вычтем y 2 с обеих сторон: x 2 — y 2 = xy — y 2

    Фактор: (x + y) (x − y) = y (x − y)

    Разделим обе части на (x − y): x + y = y (ошибка)

    Поскольку x = y, мы видим, что: 2y = y

    Итак: 2 = 1

    Держись! Этого не может быть!

    Что пошло не так? Глупые мы! Мы пробовали делить на ноль.

    Когда мы сказали, что x = y, это означает, что (x − y) = 0 , поэтому переход от (x + y) (x − y) = y (x − y) к x + y = y — ошибка.

    Факторинг

    Пример: Решить x

    2 — 5x = 2

    Начать с: x 2 — 5x = 2

    Фактор x: x (x − 5) = 2

    Итак: x = 2 или x − 5 = 2 (ошибка)

    Итак: x = 2 или 7

    Давайте проверим x = 2:

    2 2 — 5 × 2 = 4−10 = −6 , но мы хотели x 2 — 5x = 2

    Это работает только тогда, когда x (x − 5) = 0 (ноль), а не любое другое число

    систем линейных уравнений

    систем линейных уравнений


    Часто бывает необходимо посмотреть на несколько функций одного и того же независимого
    Переменная.Рассмотрим предыдущий пример, где x — количество произведенных товаров.
    и продано, была независимой переменной в трех функциях: функции затрат,
    функция дохода и функция прибыли.

    В целом
    там может быть:

    n уравнений

    v переменные

    Решение систем уравнений

    Есть
    четыре метода решения систем линейных уравнений:

    а. графическое решение

    б. алгебраическое решение

    c. метод исключения

    d. метод замещения

    Графическое решение

    Пример 1

    даны являются
    два следующих линейных уравнения:

    f (x) = y = 1 + 0,5x

    f (x) = y = 11 — 2x

    Изобразите первое уравнение для первого уравнения , найдя две точки данных.Установив
    сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на
    вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

    Если x = 0,
    тогда f (0) = 1 + .5 (0) = 1

    Если y = 0,
    тогда f (x) = 0 = 1 + 0,5x

    -,5x = 1

    х = -2

    Результирующий
    точки данных: (0,1) и (-2,0)

    Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От
    установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y
    по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.

    Если x = 0,
    тогда f (0) = 11-2 (0) = 11

    Если y = 0,
    тогда f (x) = 0 = 11 — 2x

    2x = 11

    х = 5,5

    Результирующий
    точки данных — (0,11) и (5. 5,0)

    В точке пересечения двух уравнений x и y имеют одинаковые значения.
    На графике эти значения можно прочитать как x = 4 и y = 3.

    Пример 2

    даны являются
    два следующих линейных уравнения:

    f (x) = y = 15 — 5x

    f (x) = y = 25 — 5x

    Изобразите первое уравнение для первого уравнения , найдя две точки данных.Установив
    сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на
    вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

    Если x = 0,
    тогда f (0) = 15-5 (0) = 15

    Если y = 0,
    тогда f (x) = 0 = 15 — 5x

    5x = 15

    х = 3

    Результирующий
    точки данных: (0,15) и (3,0)

    Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От
    установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y
    по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.

    Если x = 0,
    тогда f (0) = 25-5 (0) = 25

    Если y = 0,
    тогда f (x) = 0 = 25 — 5x

    5x = 25

    х = 5

    Результирующий
    точки данных: (0,25) и (5,0)

    Из графика видно, что эти линии не пересекаются. Они
    параллельны. У них одинаковый наклон. Нет однозначного решения.

    Пример 3

    даны являются
    два следующих линейных уравнения:

    21x — 7y = 14

    -15x + 5y = -10

    Переписать
    уравнения, поместив их в форму пересечения наклона.

    Первый
    уравнение становится

    7y = -14 + 21x

    у = -2 + 3х

    Второй
    уравнение становится

    5лет = -10 + 15x

    у = -2 + 3х

    Изобразите любое уравнение, найдя две точки данных.Установив сначала
    x, а затем y равный нулю, можно найти точку пересечения y по вертикали
    ось и точку пересечения x на горизонтальной оси.

    Если x = 0,
    тогда f (0) = -2 +3 (0) = -2

    Если y = 0,
    тогда f (x) = 0 = -2 + 3x

    3x = 2

    х = 2/3

    Результирующий
    точки данных: (0, -2) и (2 / 3,0)

    Из графика видно, что эти уравнения эквивалентны.Там
    — бесконечное количество решений.

    Алгебраическое решение

    Этот метод будет проиллюстрирован с помощью анализа спроса и предложения. Этот
    Тип анализа заимствован из работы великого английского экономиста Альфреда
    Маршалл.

    Q = количество и P = цена

    P (s) = функция предложения и P (d) = функция спроса

    При построении графика цена откладывается на вертикальной оси. Таким образом, цена — это
    зависимая переменная.Было бы логичнее рассматривать количество как
    зависимая переменная, и этот подход использовал великий французский экономист,
    Леон Вальрас. Однако по соглашению экономисты продолжают строить графики, используя
    Анализ Маршалла, который называют крестом Маршалла.

    Цель состоит в том, чтобы найти равновесную цену и количество, т. Е. Решение
    где цена и количество будут иметь одинаковые значения в функции предложения
    и функция цены.

    Q E
    = равновесная величина
    P E = равновесная цена

    Для равновесия
    предложение = спрос
    или P (s) = P (d)

    Учитывая следующие функции

    П (т) =
    3Q + 10 и
    P (d) = -1 / 2Q + 80

    Приравняйте уравнения друг к другу и решите относительно Q.

    P (т)
    = 3Q + 10 = -1 / 2Q + 80 = P (d)

    3.5Q = 70

    Q = 20
    Равновесное количество 20.

    Подставьте это значение вместо Q в любое уравнение и решите для P.

    P (т)
    = 3 (20) + 10

    П (т) =
    70

    П (г)
    = -1/2 (20) + 80

    П (г)
    = 70
    Цена равновесия — 70.

    Метод исключения

    Этот метод включает удаление переменных из уравнений. Переменные
    удаляются последовательно, пока не останется только одна последняя переменная, т.е.
    пока не будет одно уравнение с одним неизвестным. Затем это уравнение решается
    для одного неизвестного. Затем решение используется для нахождения второго
    последняя переменная. Процедура повторяется, добавляя обратно переменные в качестве их решений.
    найдены.

    Пример 1

    2х + 3у = 5

    -5x — 2y = 4

    Порядок действий: удалить y.Коэффициенты при y не совпадают в
    два уравнения, но если бы они были, можно было бы сложить два
    уравнения и члены y будут сокращаться. Однако это возможно через
    умножение каждого уравнения, чтобы заставить члены y иметь
    одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

    Шаг 1:
    Умножьте первое уравнение на 2, а второе уравнение умножьте на 3.
    Это дает

    4х + 6у = 10

    -15x — 6y = 12

    Шаг 2:
    Сложите два уравнения.Это дает

    -11x = 22

    х =
    -2

    Шаг 3:
    Решить относительно y в любом из исходных уравнений

    2 (-2) + 3у = 5

    3 года = 9

    г = 3
    или

    -5 (-2) — 2y = 4

    10 — 2 года = 4

    2y = 6

    г = 3

    Альтернативная процедура: удалить x.Коэффициенты при x не совпадают
    в двух уравнениях, но если бы они были, можно было бы добавить
    два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако возможно
    путем умножения каждого уравнения, чтобы заставить члены x равняться
    имеют одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

    Шаг 1:
    Умножьте первое уравнение на 5, а второе уравнение умножьте на 2.
    Это дает

    10x + 15y = 25

    -10x — 4y = 8

    Шаг 2:
    Сложите два уравнения.Это дает

    11лет = 33

    y =
    3

    Шаг 3:
    Решить относительно x в любом из исходных уравнений

    2x + 3 (3) = 5

    2x = -4

    х = -2
    или

    -5x — 2 (3) = 4

    — 5x =
    10

    х = -2

    Пример 2

    2x 1 + 5x 2 + 7x 3 =
    2

    4x 1 — 4x 2 — 3x 3 =
    7

    3x 1 — 3x 2 — 2x 3 =
    5

    В этом примере есть три переменные: x 1 , x 2 и
    x 3 .Одна из возможных процедур — удалить первый x 1 ,
    , чтобы исключить следующие x 2 , а затем найти x 3 .
    Значение, полученное для x 3 , используется для решения x 2 и
    наконец, значения, полученные для x 3 и x 2 , используются для
    решить относительно x 1 .

    Процедура Часть A Сначала удалите x 1 .

    Шаг 1 Умножение
    первое уравнение на 2 и вычтите второе уравнение из первого
    уравнение.Это дает

    4x 1 + 10x 2 + 14x 3 =
    4
    первое уравнение

    4x 1 — 4x 2 — 3x 3
    = 7
    второе уравнение

    14x 2 + 17x 3
    = -3
    второе уравнение вычитается из первого

    Шаг 2 Умножение
    первое уравнение на 3, третье уравнение умножьте на 2 и вычтите
    третье уравнение из первого уравнения.Это дает

    6x 1 + 15x 2 + 21x 3 =
    6
    первое уравнение

    6x 1 — 6x 2 — 4x 3 =
    10
    третье уравнение

    21x 2 + 25x 3
    = -4
    третье уравнение вычитается из первого

    Процедура, часть B Второе удаление x 2 .
    Из Части А осталось два уравнения. Из этих двух уравнений исключить
    х 2 .

    14x 2 + 17x 3 = -3
    первое уравнение

    21x 2 + 25x 3 = -4
    второе уравнение

    Шаг 1 Умножение
    первое уравнение на 21, второе уравнение умножьте на 14. и вычтите
    второе уравнение из первого уравнения.Это дает

    294x 2 + 357x 3 = -63
    первое уравнение

    294x 2 + 350x 3 = -56
    второе уравнение

    7x 3 = -7
    второе уравнение вычитается из первого

    х 3
    = -1

    Часть C
    Решите относительно x 2 , вставив значение, полученное для x 3 в
    любое уравнение из Части B.

    14x 2 + 17 (-1) = -3

    1 4x 2 = 14

    х 2 = 1
    или

    21x 2 + 25 (-1) = -4

    21x 2
    = 21

    х 2
    = 1

    Часть D
    Решите относительно x 1 , вставив полученные значения x 2
    andx 3 в любом из трех исходных уравнений.

    2x 1 + 5x 2
    + 7x 3 = 2
    первое исходное уравнение

    2x 1 + 5 (1) + 7 (-1)
    = 2

    2x 1 = 4

    x 1 = 2 или

    4x 1
    — 4x 2 — 3x 3 = 7 секунд
    исходное уравнение

    4x 1 — 4 (1) — 3 (-1)
    = 7

    4x 1 = 8

    х 1 = 2
    или же

    3x 1
    — 3x 2 — 2x 3 = 5
    третье исходное уравнение

    3x 1 — 3 (1)
    -2 (-1) = 5

    3x 1
    = 6

    х 1 = 2

    Метод замещения

    Это включает выражение одной переменной через другую, пока не будет
    одно уравнение с одним неизвестным.Затем это уравнение решается для этого
    один неизвестный. Затем результат используется для определения переменной, которая была
    выражается через переменную, решение которой было только что найдено.

    Пример

    12x
    — 7лет = 106
    первое уравнение

    8x
    + У = 82
    второе уравнение

    Решите
    второе уравнение для y, а затем подставьте полученное значение y в первое
    уравнение.

    г
    = 82 — 8x
    второе уравнение, решенное относительно y

    12x
    — 7 (82 — 8х) = 106
    первое уравнение переписано в x

    12x
    — 574 + 56x = 106

    68x
    = 680

    х
    = 10

    Подставьте полученное значение x в любое из исходных эквивалентов.

    12x
    — 7лет = 106
    первое уравнение

    12 (10)
    — 7лет = 106

    7лет
    = 14

    г
    = 2

    8 (10)
    + У = 82
    второе уравнение

    г
    = 2

    [индекс]


    9.1 Решайте квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня — промежуточная алгебра 2e

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решите квадратные уравнения вида ax2 = kax2 = k, используя свойство квадратного корня
    • Решите квадратные уравнения вида a (x – h) 2 = ka (x – h) 2 = k, используя свойство квадратного корня

    Будьте готовы 9,1

    Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

    Упростить: 128.128.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.13.

    Будьте готовы 9.2

    Упростить: 325325.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.50.

    Будьте готовы 9,3

    Фактор: 9×2−12x + 49×2−12x + 4.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.23.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0a ≠ 0. Квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений тем, что включают квадратный член с переменной, возведенной во вторую степень формы ax 2 .Мы используем разные методы для решения квадратных уравнений, чем линейные, потому что простое сложение, вычитание, умножение и деление членов не приведет к выделению переменной.

    Мы видели, что некоторые квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации. В этой главе мы изучим три других метода, которые можно использовать в случае, если квадратное уравнение не может быть разложено на множители.

    Решите квадратные уравнения вида ax2 = kax2 = k, используя свойство квадратного корня

    Мы уже решили некоторые квадратные уравнения с помощью факторизации.Давайте рассмотрим, как мы использовали факторизацию для решения квадратного уравнения x 2 = 9.

    x2 = 9×2 = 9
    Приведите уравнение в стандартную форму. x2−9 = 0x2−9 = 0
    Фактор разницы квадратов. (x − 3) (x + 3) = 0 (x − 3) (x + 3) = 0
    Использовать свойство нулевого произведения. x − 3 = 0x − 3 = 0x − 3 = 0x − 3 = 0
    Решите каждое уравнение. x = 3x = −3x = 3x = −3

    Мы можем легко использовать факторизацию, чтобы найти решения подобных уравнений, например x 2 = 16 и x 2 = 25, потому что 16 и 25 являются точными квадратами.В каждом случае мы получим два решения: x = 4, x = −4x = 4, x = −4 и x = 5, x = −5. X = 5, x = −5.

    Но что произойдет, если у нас есть уравнение типа x 2 = 7? Поскольку 7 не является полным квадратом, мы не можем решить уравнение факторизацией.

    Ранее мы узнали, что, поскольку 169 — это квадрат 13, мы также можем сказать, что 13 — это квадратный корень из 169. Кроме того, (−13) 2 = 169, поэтому −13 также является квадратным корнем из 169. Следовательно , и 13, и −13 являются квадратными корнями из 169. Итак, каждое положительное число имеет два квадратных корня — один положительный и один отрицательный.Ранее мы определили квадратный корень из числа таким образом:

    Если n2 = m, то есть квадратный корень из m. Еслиn2 = m, то есть квадратный корень из m.

    Поскольку все эти уравнения имеют форму x 2 = k, определение квадратного корня говорит нам, что решения — это два квадратных корня из k. Это приводит к свойству квадратного корня.

    Свойство с квадратным корнем

    Если x 2 = k, то

    x = korx = −korx = ± k.x = korx = −korx = ± k.

    Обратите внимание, что свойство квадратного корня дает два решения уравнения вида x 2 = k, главный квадратный корень из kk и его противоположность.Мы также могли бы записать решение в виде x = ± k.x = ± k. Мы читаем это как x равно положительному или отрицательному квадратному корню из k.

    Теперь мы снова решим уравнение x 2 = 9, на этот раз используя свойство квадратного корня.

    x2 = 9×2 = 9
    Используйте свойство квадратного корня. х = ± 9х = ± 9
    х = ± 3х = ± 3
    Sox = 3 или x = −3. Ox = 3 или x = −3.

    Что происходит, если константа не является точным квадратом? Давайте воспользуемся свойством квадратного корня, чтобы решить уравнение x 2 = 7.

    x2 = 7×2 = 7
    Используйте свойство квадратного корня. x = 7, x = −7x = 7, x = −7

    Мы не можем упростить 77, поэтому оставим ответ радикальным.

    Пример 9.1

    Как решить квадратное уравнение вида ax

    2 = k Использование свойства квадратного корня

    Решите: x2−50 = 0. x2−50 = 0.

    Попробуйте 9,1

    Решите: x2−48 = 0.x2−48 = 0.

    Попробуй 9.2

    Решите: y2−27 = 0. y2−27 = 0.

    Шаги, которые необходимо предпринять, чтобы использовать свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения, перечислены здесь.

    How To

    Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня.
    1. Шаг 1. Выделите квадратичный член и сделайте его коэффициент равным единице.
    2. Шаг 2. Используйте свойство квадратного корня.
    3. Шаг 3. Упростим радикал.
    4. Шаг 4. Проверьте решения.

    Чтобы использовать свойство квадратного корня, коэффициент члена переменной должен быть равен единице.В следующем примере мы должны разделить обе части уравнения на коэффициент 3, прежде чем использовать свойство квадратного корня.

    Пример 9.2

    3z2 = 1083z2 = 108
    Квадратичный член изолирован.
    Разделите на 3, чтобы получить коэффициент 1.
    3z23 = 10833z23 = 1083
    Упростить. z2 = 36z2 = 36
    Используйте свойство квадратного корня. г = ± 36 г = ± 36
    Упростим радикал. г = ± 6 г = ± 6
    Перепишите, чтобы показать два решения. z = 6, z = −6z = 6, z = −6
    Проверьте решения:

    Свойство квадратного корня гласит: «Если x2 = kx2 = k,» что произойдет, если k <0? K <0? Так будет в следующем примере.

    Пример 9.3

    x2 + 72 = 0x2 + 72 = 0
    Выделите квадратичный член. x2 = −72×2 = −72
    Используйте свойство квадратного корня. х = ± -72х = ± -72
    Упростите, используя комплексные числа. x = ± 72ix = ± 72i
    Упростим радикал. x = ± 62ix = ± 62i
    Перепишите, чтобы показать два решения. x = 62i, x = −62ix = 62i, x = −62i
    Проверьте решения:

    Наш метод также работает, когда в уравнении встречаются дроби, мы решаем как любое уравнение с дробями.В следующем примере мы сначала выделяем квадратичный член, а затем делаем коэффициент равным единице.

    Пример 9.4

    Решить: 23u2 + 5 = 17.23u2 + 5 = 17.

    Попробуйте 9,7

    Решить: 12×2 + 4 = 24,12×2 + 4 = 24.

    Попробуйте 9,8

    Решите: 34y2−3 = 18.34y2−3 = 18.

    Решения некоторых уравнений могут иметь дроби внутри радикалов. Когда это происходит, мы должны рационализировать знаменатель.

    Пример 9,5

    Решите: 2×2−8 = 41.2×2−8 = 41.

    Попробуйте 9.9

    Решите: 5r2−2 = 34,5r2−2 = 34.

    Попробуйте 9.10

    Решить: 3t2 + 6 = 70,3t2 + 6 = 70.

    Решите квадратные уравнения вида a (x — h)

    2 = k, используя свойство квадратного корня

    Мы можем использовать свойство квадратного корня для решения уравнения вида a (x — h) 2 = k. Обратите внимание, что квадратный член x в исходной форме ax 2 = k заменен на (x — h).

    Первый шаг, как и раньше, — выделить термин, в котором переменная возведена в квадрат.В этом случае возводится двучлен. После того, как бином изолирован путем деления каждой стороны на коэффициент a, свойство квадратного корня можно использовать для (x — h) 2 .

    Пример 9.6

    Решите: 4 (y − 7) 2 = 48,4 (y − 7) 2 = 48.

    4 (y − 7) 2 = 484 (y − 7) 2 = 48
    Разделим обе части на коэффициент 4. (y − 7) 2 = 12 (y − 7) 2 = 12
    Используйте свойство квадратного корня для бинома y − 7 = ± 12y − 7 = ± 12
    Упростим радикал. y − 7 = ± 23y − 7 = ± 23
    Решить за г.г. у = 7 ± 23у = 7 ± 23
    Перепишите, чтобы показать два решения. y = 7 + 23, y = 7 + 23, y = 7−23y = 7−23
    Чек:

    Попробуйте 9.11

    Решите: 3 (a − 3) 2 = 54,3 (a − 3) 2 = 54.

    Попробуйте 9.12

    Решите: 2 (b + 2) 2 = 80,2 (b + 2) 2 = 80.

    Помните, когда мы извлекаем квадратный корень из дроби, мы можем извлекать квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно.

    Пример 9.7

    Решите: (x − 13) 2 = 59. (X − 13) 2 = 59.

    (x − 13) 2 = 59 (x − 13) 2 = 59
    Используйте свойство квадратного корня. x − 13 = ± 59x − 13 = ± 59
    Записываем радикал как долю квадратных корней. x − 13 = ± 59x − 13 = ± 59
    Упростим радикал. x − 13 = ± 53x − 13 = ± 53
    Решите относительно xx. х = 13 ± 53х = 13 ± 53
    Перепишите, чтобы показать два решения. x = 13 + 53, x = 13−53x = 13 + 53, x = 13−53
    Чек:
    Мы оставляем вам чек.

    Попробуйте 9,13

    Решите: (x − 12) 2 = 54. (X − 12) 2 = 54.

    Попробуйте 9,14

    Решите: (y + 34) 2 = 716. (Y + 34) 2 = 716.

    Мы начнем решение следующего примера с выделения биномиального члена.

    Пример 9.8

    Решите: 2 (x − 2) 2 + 3 = 57,2 (x − 2) 2 + 3 = 57.

    2 (x − 2) 2 + 3 = 572 (x − 2) 2 + 3 = 57
    Вычтите 3 с обеих сторон, чтобы выделить биномиальный член. 2 (x − 2) 2 = 542 (x − 2) 2 = 54
    Разделите обе стороны на 2. (x − 2) 2 = 27 (x − 2) 2 = 27
    Используйте свойство квадратного корня. x − 2 = ± 27x − 2 = ± 27
    Упростим радикал. x − 2 = ± 33x − 2 = ± 33
    Решите относительно xx. х = 2 ± 33х = 2 ± 33
    Перепишите, чтобы показать два решения. х = 2 + 33, х = 2-33 х = 2 + 33, х = 2-33
    Чек:
    Мы оставляем вам чек.

    Попробуйте 9,15

    Решите: 5 (a − 5) 2 + 4 = 104,5 (a − 5) 2 + 4 = 104.

    Попробуйте 9,16

    Решите: 3 (b + 3) 2−8 = 88,3 (b + 3) 2−8 = 88.

    Иногда решениями являются комплексные числа.

    Пример 9.9

    Решите: (2x − 3) 2 = −12. (2x − 3) 2 = −12.

    (2x − 3) 2 = −12 (2x − 3) 2 = −12
    Используйте свойство квадратного корня. 2x − 3 = ± −122x − 3 = ± −12
    Упростим радикал. 2x − 3 = ± 23i2x − 3 = ± 23i
    Добавьте 3 к обеим сторонам. 2x = 3 ± 23i2x = 3 ± 23i
    Разделите обе стороны на 2. х = 3 ± 23i2x = 3 ± 23i2
    Перепишите в стандартном виде. х = 32 ± 23i2x = 32 ± 23i2
    Упростить. x = 32 ± 3ix = 32 ± 3i
    Перепишите, чтобы показать два решения. x = 32 + 3i, x = 32−3ix = 32 + 3i, x = 32−3i
    Чек:
    Мы оставляем вам чек.

    Попробуйте 9,17

    Решите: (3r + 4) 2 = −8. (3r + 4) 2 = −8.

    Попробуйте 9.18

    Решите: (2t − 8) 2 = −10. (2t − 8) 2 = −10.

    Кажется, что левые части уравнений в следующих двух примерах не имеют формы a (x — h) 2 . Но они представляют собой идеальные квадратные трехчлены, поэтому мы будем множить их в нужную нам форму.

    Пример 9.10

    Решите: 4n2 + 4n + 1 = 16,4n2 + 4n + 1 = 16.

    Мы замечаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен в виде полного квадрата.Мы учтем это в первую очередь.

    4n2 + 4n + 1 = 164n2 + 4n + 1 = 16
    Разложите на множители трехчлена полного квадрата. (2n + 1) 2 = 16 (2n + 1) 2 = 16
    Используйте свойство квадратного корня. 2n + 1 = ± 162n + 1 = ± 16
    Упростим радикал. 2n + 1 = ± 42n + 1 = ± 4
    Решите для nn. 2n = -1 ± 42n = -1 ± 4
    Разделите каждую сторону на 2. 2n2 = -1 ± 422n2 = -1 ± 42
    п = -1 ± 42 п = -1 ± 42
    Перепишите, чтобы показать два решения. п = -1 + 42 п = -1 + 42, п = -1-42 п = -1-42
    Упростите каждое уравнение. п = 32 п = 32, п = -52 п = -52
    Чек:

    Попробуйте 9,19

    Решить: 9m2−12m + 4 = 25.9m2−12m + 4 = 25.

    Попробуйте 9.20

    Решите: 16n2 + 40n + 25 = 4,16n2 + 40n + 25 = 4.

    Раздел 9.1 Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    Решите квадратные уравнения формы ax 2 = k, используя свойство квадратного корня

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

    16.

    23y2−8 = −223y2−8 = −2

    Решите квадратные уравнения вида a (x — h) 2 = k, используя свойство квадратного корня

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

    30.

    (t − 56) 2 = 1125 (t − 56) 2 = 1125

    31.

    (а-7) 2 + 5 = 55 (а-7) 2 + 5 = 55

    32.

    (b − 1) 2−9 = 39 (b − 1) 2−9 = 39

    33.

    4 (x + 3) 2−5 = 274 (x + 3) 2−5 = 27

    34.

    5 (x + 3) 2−7 = 685 (x + 3) 2−7 = 68

    35.

    (5c + 1) 2 = −27 (5c + 1) 2 = −27

    36.

    (8d − 6) 2 = −24 (8d − 6) 2 = −24

    37.

    (4x − 3) 2 + 11 = −17 (4x − 3) 2 + 11 = −17

    38.

    (2y + 1) 2−5 = −23 (2y + 1) 2−5 = −23

    43.

    25×2−30x + 9 = 3625×2−30x + 9 = 36

    45.

    36×2−24x + 4 = 8136×2−24x + 4 = 81

    46.

    64×2 + 144x + 81 = 2564×2 + 144x + 81 = 25

    Смешанная практика

    В следующих упражнениях решите, используя свойство квадратного корня.

    51.

    9w2−24w + 16 = 19w2−24w + 16 = 1

    59.

    u2−14u + 49 = 72u2−14u + 49 = 72

    61.

    (м − 4) 2 + 3 = 15 (м − 4) 2 + 3 = 15

    62.

    (n − 7) 2−8 = 64 (n − 7) 2−8 = 64

    68.

    (y − 4) 2 + 10 = 9 (y − 4) 2 + 10 = 9

    Письменные упражнения

    69.

    Объясните своими словами свойство квадратного корня.

    70.

    Объясните своими словами, как использовать свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения (x + 2) 2 = 16 (x + 2) 2 = 16.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    Выберите, как вы отреагируете на утверждение: «Я могу решить квадратные уравнения вида, умноженного на квадрат x минус h, равный k, используя свойство квадратного корня». «Уверенно», «с некоторой помощью» или «Нет, я не понимаю».

    ⓑ Если бы большинство ваших чеков было:

    … уверенно. Поздравляю! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

    … с некоторой помощью. Эту проблему нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие помощники. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

    … нет, не понимаю! Это предупреждающий знак, игнорировать его нельзя.Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

    Фактор разницы квадратов

    Фактор разницы квадратов
    Вот шаги, необходимые для разложения разницы квадратов:

    Шаг 1: Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим фактором или GCF.Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ.
    Шаг 2: Каждую задачу о разнице квадратов можно разложить на множители следующим образом: a 2 — b 2 = (a + b) (a — b) или (a — b) (a + b). Итак, все, что вам нужно сделать, чтобы учесть эти типы проблем, — это определить, какие квадраты чисел дадут желаемые результаты.
    Шаг 3: Определите, можно ли дополнительно разложить оставшиеся факторы.

    Пример 1 — Коэффициент:

    Шаг 1. Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть только общая 1, что бесполезно.
    Шаг 2: Чтобы разложить эту проблему на форму (a + b) (a — b), вам нужно определить, какие квадраты будут равны x 2 , а какой квадрат будет равен 36.В этом случае варианты: x и 6, потому что (x) (x) = x 2 и (6) (6) = 36.
    Шаг 3: Определите, можно ли дополнительно разложить какие-либо из оставшихся факторов. В этом случае они не могут, поэтому окончательный ответ:

    Пример 2 — Фактор:

    Шаг 1. Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF.Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть только общая 1, что бесполезно.
    Шаг 2: Чтобы разложить эту проблему на форму (a + b) (a — b), вам нужно определить, какие квадраты будут равны 4x 2 , а какой квадрат будет равен 81. В этом случае варианты выбора равны 2x и 9, потому что (2x) (2x) = 4x 2 и (9) (9) = 81.
    Шаг 3: Определите, можно ли дополнительно разложить какие-либо из оставшихся факторов.В этом случае они не могут, поэтому окончательный ответ:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Пример 3 — Фактор:

    Шаг 1. Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть общее число 2, в результате чего получается:
    Шаг 2: Чтобы разложить эту проблему на форму (a + b) (a — b), вам нужно определить, какие квадраты будут равны 9x 2 , а какой квадрат будет равен 49y 2 .В этом случае варианты: 3x и 7y, потому что (3x) (3x) = 9x 2 и (7y) (7y) = 49y 2 .
    Шаг 3: Определите, можно ли дополнительно разложить какие-либо из оставшихся факторов. В этом случае они не могут, поэтому окончательный ответ:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Пример 4 — Фактор:

    Шаг 1. Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF.Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть общее число 9x, в результате чего получается:
    Шаг 2: Чтобы разложить эту проблему на форму (a + b) (a — b), вам необходимо определить, какие квадраты будут равны x 2 , а какой квадрат будет равен 9. В этом случае возможны следующие варианты: x и 3, потому что (x) (x) = x 2 и (3) (3) = 9.
    Шаг 3: Определите, можно ли дополнительно разложить какие-либо из оставшихся факторов.В этом случае они не могут, поэтому окончательный ответ:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Пример 5 — Фактор:

    Шаг 1. Решите, есть ли у этих четырех терминов что-нибудь общее, называемое наибольшим общим множителем или GCF. Если это так, вычтите GCF. Не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ. В этом случае у этих двух терминов есть только общая 1, что бесполезно.
    Шаг 2: Чтобы разложить эту проблему на форму (a + b) (a — b), вам нужно определить, какие квадраты будут равны 16×4, а какой квадрат будет равен 1.В этом случае варианты: 4x 2 и 1, потому что (4x 2 ) (4x 2 ) = 16x 4 и (1) (1) = 1.
    Шаг 3: Определите, можно ли дополнительно разложить какие-либо из оставшихся факторов. В этом случае один из факторов представляет собой разность квадратов, а другой фактор представляет собой сумму квадратов, которая не учитывается. Чтобы множить разность квадратов, вам нужно определить, какие квадраты будут равны 4x 2 , а какой квадрат будет равен 1.В этом случае возможны варианты 2x и 1, потому что (2x) (2x) = 4x 2 и (1) (1) = 1.